東工大数学'22年前期[3]
αは
を満たす実数とする。
および
を満たす直角三角形APBが、次の2つの条件(a)，(b)を満たしながら、時刻
から時刻
までxy平面上を動くとする。
(a) 時刻t での点A，Bの座標は、それぞれA
，B
である。 (b) 点Pは第一象限内にある。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) 点Pはある直線上を動くことを示し、その直線の方程式をαを用いて表せ。
(2) 時刻
から時刻
までの間に点Pが動く道のりをαを用いて表せ。
(3) xy平面内において、連立不等式
，
により定まる領域をDとする。このとき、点Pは領域Dには入らないことを示せ。
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解答 点Aを通る直線と点Bを通る直線が直交しその交点がP，として捉えることもできますが、直線APがx軸に直交する場合があり得るので、ここでは、"
"を、複素数平面上での回転で考え、機械的な計算ですませるアプローチでやってみます。
(1) 
，
です。複素数平面上で点A
，点B
，点Pを表す複素数をa，b，zとします。
と条件(b)より、点B
を点A
の回りに角
回転し
倍すると、点P
に来ます。よって、よって、
，
･･･①
これより、
･･･②
よって、点P
は直線上の点で、直線の方程式は、
......[答] 注．こうして答が出てしまうと、もっと簡単な解法があることに気付きます。直線の方程式より、
と言っているわけで、
なので、円周角で行けたということです。試験会場で最初からこのことに気付ければ、
と
がともに直角であることから、4点O，A，P，Bは同一円周上で、円周角の定理より
で一定なので、点Pは、直線OBと角αをなし第1象限上を通る直線上にあり、直線の傾きは
で直線の方程式は
と簡単に解答できます。
(2) ①で
が
においてどのような変化をするのか(三角関数のグラフを参照)を調べればよいのですが、
より、範囲：
は、
を含み、このとき
です。従って、
においては
は
から1まで単調に増加し、
においては
は1から
まで単調に減少します。 ･･･(＊) つまり、直線②に沿って点Pは、時刻
から時刻
まで、点
から点
まで動き、その道のりは
です。時刻
から時刻
まで、点
から点
まで引き返し、その道のりは
です。
以上より、点Pが動く道のりは、 
......[答]
(3) ①の不等式を与不等式に代入してみると、
(2)で検討したように、
となるので、
です。(2)の(＊)より、
においては
より
，
においては
より
よって、点Pは領域Dに入ることはありません(不等式の表す領域を参照)。 注．連立不等式：
，
により定まる領域Dというのは、 より、③かつ④，つまり、
を中心とする半径
の円よりも内側であってかつ
を中心とする半径
の円よりも内側、です。
上記の解答では、点Pの座標が、③または④のいずれかを満たさない、ということを示しました。
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，
，
(iは虚数単位、x，yは実数)
⇔ 
･･･③
⇔ 
･･･④
