東工大数学'22年前期[5]
aは
を満たす実数とし、
とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 次の等式(＊)を満たすaがただ1つ存在することを示せ。
(＊) 
(2) 
を満たす実数b，cについて、不等式 が成り立つことを示せ。
(3) 次の試行を考える。
[試行] n個の数1，2，･･･，nを出目とする，あるルーレットをk回まわす。
この[試行]において、各
についてiが出た回数を
とし、 (＊＊) 
が成り立つとする。このとき、(1)の等式(＊)が成り立つことを示せ。
(4) (3)の[試行]において出た数の平均値を
とし、
とする。(＊＊)が成り立つとき、極限
をaを用いて表せ。
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解答 前半部分は、確率密度関数のことだろうと想定できると思いますが、「出目」って？後半は問題文がわかりにくく、きちんと取り組めた受験生が何人いたのだろうと思ってしまいます。
･･･①これより(＊)は、
∴ 
(
) 
において、
のグラフは単調増加かつ下に凸。
のとき
，
のとき
直線
は、
のとき
，
のとき
(
)よって、
のグラフと直線
は、
においてただ1つの交点を持ちます。つまり、(＊)を満たすaがただ1つ存在します。
(2) 
とおくと、
は
において連続、
において微分可能なので、平均値の定理の成立要件を満たします。よって、平均値の定理より、
となるb，cに対して、 
，
･･･②を満たす実数dが存在します。
･･･③
，
②，③より、
より、 
･･･④
(3) ルーレットをk回まわす間に、1，2，･･･，nのいずれかが出ます。iが出た回数(
)を
とするので、1が出た回数
，2が出た回数
，･･･，nが出た回数
を加え合わせるとkになります。つまり、 これより、kによらずに
(一定)となるので、
の極限においても、 
･･･⑤(＊＊)の右辺について、
についての和をとると、 
･･･⑥一方で、(＊＊)より、
は収束して、
なのでその和についても収束して、⑤より、 よって、⑥より、
となり(＊)が成り立ちます。
(4) (3)よりiが出る確率(
)は
です。出た数の平均値は、
，上記のように
は収束するので、与式より、 
(∵ (＊＊)) ･･･⑦ここで各辺にiをかけて、
についての和をとると、⑦より、 極限
を求めたいので、さらにnで割り、 
･･･⑧ここで、
とすると、区分求積法を用いると、⑧の左辺と右辺は、 ①より、
よって、⑧において
として、 左辺：
右辺：
......[答]
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，
のとき、
であって、①より、
，
として、
より、
(
とします)
は
のとき、