東工大数学'22年前期[5]

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aはを満たす実数とし、とする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 次の等式(＊)を満たすaがただ1つ存在することを示せ。

(＊)　

(2) を満たす実数b，cについて、不等式

が成り立つことを示せ。

(3) 次の試行を考える。

[試行]　n個の数1，2，･･･，nを出目とする，あるルーレットをk回まわす。

この[試行]において、各についてiが出た回数をとし、

(＊＊)　

が成り立つとする。このとき、(1)の等式(＊)が成り立つことを示せ。

(4) (3)の[試行]において出た数の平均値をとし、とする。(＊＊)が成り立つとき、極限をaを用いて表せ。

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解答　前半部分は、確率密度関数のことだろうと想定できると思いますが、「出目」って？後半は問題文がわかりにくく、きちんと取り組めた受験生が何人いたのだろうと思ってしまいます。

(1) 積を和に直す公式より、

これより(＊)は、

∴ 　()

のグラフは単調増加かつ下に凸。のとき，のとき
直線は、のとき，のとき ()
よって、のグラフと直線は、においてただ1つの交点を持ちます。つまり、(＊)を満たすaがただ1つ存在します。

(2) とおくと、はにおいて連続、において微分可能なので、平均値の定理の成立要件を満たします。よって、平均値の定理より、となるb，cに対して、

，　･･･�@

を満たす実数dが存在します。

　･･･�A

，のとき、より、

，

従って、は単調増加関数で、のとき、

�@，�Aより、

∴ 　･･･�B

(3) ルーレットをk回まわす間に、1，2，･･･，nのいずれかが出るので、1が出た回数、2が出た回数、･･･、nが出た回数を加え合わせるとkになります。

iが出た回数()をとするので、

これより、なので、　･･･�C
�CでΣが取れた形について、(＊＊)よりですが、この右辺について、

よって、�Cより、となり(＊)が成り立ちます。

(4) (3)よりiが出る確率()はです。出た数の平均値は、

　(∵ (＊＊))　･･･�D

�Bにおいて、，として、より、

これより�Dは、

よって、

　･･･�E

ここで、とすると、区分求積法を用いて、

(とします)

よって、�Eにおいてとして、

左辺：
右辺：

より、はさみうちの原理を用いて、

......[答]

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