東工大数学'22年前期[1]

abを実数とし、とする。ab
を満たしながら動くとき、を満たす複素数zがとりうる値の範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答 実部と虚部に分けて計算するか、2次方程式の解を考えるか、ですが、2通りのアプローチでやってみます。

(xyは実数)とおくと、

 ・・・@, ・・・A
(i) のとき、Aは必ず成立します。
@より、
これを
ab平面上の直線と見ると、この直線が、で表される領域を通過する条件は、
として ・・・B
または
のとき、あるいは、のとき、 ・・・C
が成立することです。
Bより、
 ・・・D
Cよりのとき、
かつ
は必ず成立します。
より、 ・・・E
Cよりのとき、
かつ
は必ず成立します。
より、 ・・・F
EまたはFが成立すればよい
(EかつFではないので注意)ので、
 ・・・G
これはDの範囲を含むのでGだけ考えればOKです。
(ii) のとき、Aより、
より、 ・・・H
@でとして、
より、
より、 ・・・I
求めるの存在範囲は、"かつG"または"かつHかつI"です。図示すると、右図黄緑色着色部(境界線と太線を含む)

[別解] の解を考えても解答できます。
 ・・・J
(i) のときJは実数解をもち、
より、
よって、このときの
zの存在範囲は、実軸上の
の部分です。
(ii) のときJは虚数解をもち、
(xyは実数)とすると、
より
また、より、
より、
求める領域は(i)の結果と(ii)の結果を合わせた領域です。



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