東工大数学'22年前期[1]
a，bを実数とし、
とする。a，bが
，
を満たす複素数zがとりうる値の範囲を複素数平面上に図示せよ。
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解答 複素数
を実部xと虚部yに分け、a，bをx，yで表して
，
に代入するか、2次方程式
の解を考えるか、ですが、2通りのアプローチでやってみます。
(x，yは実数)とおくと、
(i) 
のとき、②は必ず成立します。 ①より、
これをab平面上の直線
と見ると、この直線が、
，
で表される領域を通過する条件(線形計画法を参照)は、
として
・
または
･･･③
または
・
･･･④
が成立することです(以下、2次不等式を参照)。
④より、
∴ 
･･･⑤
③より、
かつ
は必ず成立します。
より、
･･･⑥
③より、
かつ
は必ず成立します。
より、
･･･⑦
⑥または⑦が成立すればよい(⑥かつ⑦ではないので注意)ので、 
･･･⑧これは⑤の範囲を含むので⑧だけ考えればOKです。
より、
･･･⑨
①で
として、
と
より、
より、
･･･⑩
の存在範囲(不等式の表す領域を参照)は、"
かつ⑧"または"
かつ⑨かつ⑩"です。図示すると、右図黄緑色着色部(境界線と太線を含む)。
[別解] 
の解を考えても解答できます(2次方程式を参照)。
･･･⑪(i) 
のとき⑪は実数解をもち、
(実数) 
，
より、
，
よって、このときのzの存在範囲は、実軸上のの部分です。
(ii) 
のとき⑪は虚数解をもち、
(x，yは実数)とすると、
，
，
より
また、
より、
より、
求める領域は(i)の結果と(ii)の結果を合わせた領域です。
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(ii) 
のとき、②より、
･･･②