東工大数学'24年前期[1]
xy平面上の曲線
に、点
(
)で接する円のうち、y軸の正の部分にも接するものを
とおく。aが正の実数を動くときの
の中心の軌跡をC，とくに
の中心をPとする。
(1) 点Pの座標を求めよ。
(2) 点Pにおける曲線Cの接線の傾きを求めよ。
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解答 勿論、(2)だけ解答して
として(1)の答だ、とすれば、効率的なのは確かですが、以下では、出題者が敢えて(1)を置いた意図を汲んで解答します。途中でミスをしてそれ以後の流れが変わってしまい、(1)だけでもできていれば合格ラインに届くのに、優秀な受験生と分かっていてため息をつきつつ不合格にした経験があるのでしょう。
円
と曲線
との接点は
です。
を微分すると、
，
における接線の傾きは1，法線の傾きは
です。点
を通る法線
は、
：
･･･①(1) 点Pは法線
上に存在し(円と放物線を参照)、その座標を
とおくと、円
はy軸に接するのでその半径はt であり、点Pと接点
との距離もt です。よって、 複号の各々について、点Pのy座標(y軸との接点のy座標も同じです)は、①を用いて、
(複号同順)y軸の正の部分と接するので、②のうち、
は不適です。
よって、
の中心Pは、
......[答]
(2) 円
と曲線
との接点
における接線の傾きは
よりa，法線の傾きは
です。点
を通る法線
は、 
：
･･･③注．
とすると
と一致します。 円
の中心
は法線
上に存在し、その座標を
とおくと、円
はy軸に接するのでその半径はt であり、点
と接点
との距離もt です。よって、 ∴ 
･･･④
複号の各々について、点
のy座標(y軸との接点のy座標も同じです)は、③を用いて、 
(複号同順) y軸の正の部分と接するので、④のうち、
は不適です。
よって、点
の座標は
です。 軌跡C上の点を
として、 
(∵ 
)ここで
として、Pにおける接線の傾きは、 
......[答]
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∴ 
･･･②
とすると、
の座標は
となりPと一致します。
における曲線