東工大数学'24年前期[5]
整数の組
に対して2次式
を考える。方程式
の複素数の範囲のすべての解αに対して
となる正の整数nが存在するような組
をすべて求めよ。
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解答 以下では、平凡に2次方程式の問題として解答します。多くの整数問題と同様、必要条件で調べる整数の範囲を絞り、題意を満たすかどうか、シラミつぶしで調べることにより、工夫しなくても充分に時間内に解答できます。
･･･①
より
，即ち、
，よって、
(nは正整数なので、
)とおけます。
より、
ド・モアブルの定理より、
よって(複素数の計算を参照)、
･･･③
･･･④
よって、
･･･⑤
･･･⑥
⑥を満たす正整数nは
に限られます。
・
のとき、②より、
ですが、
となるのは、
でnが偶数のときです。
よって、
，
・
のとき、②より、
nが偶数であれば
となりますが、
となるのは、
のときだけです。
よって、
，
⑤のとき、③より、
∴ 
また⑤より、
より
，即ち、
これを満たす整数aは、
・
，
のとき、 
，
nが4の倍数のとき
となるので、この場合は適です。
，
のとき、
この解αについては、
(複号同順)よって、
となるので、この場合は適です。 ・
，
のとき、 
，
どちらにしても2乗すれば1になるので、この場合は適です。
以上より、
のすべての解αに対して
となる正の整数nが存在するような組
は、
......[答]
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(k：整数)とおくと、
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