東京科学大理工学系2025年前期数学入試問題
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(1) 不定積分
を求めよ。 (2) 
(
)の逆関数を
とする。また、a，bを
，
となる実数とする。このとき定積分 の値を求めよ。
(3) 関数
を
に対して
と定める。
このとき
について、定義域を
とする逆関数
が微分可能であることは証明なしに認めてよい。関数
を
に対して と定めるとき、
を求めよ。 [解答へ]
[2] 空間の点
を通り
を方向ベクトルとする直線を
とし、点
を通り
を方向ベクトルとする直線をmとする。 (1) Pを
上の点とし、Qをm上の点とする。また、直線PQは直線
と直線mに垂直であるとする。このときPとQの座標、および線分PQの長さを求めよ。 (2) 
上に2点 があり、m上に2点
があるとする。ただし、t は実数とする。四面体ABCDの体積を
とする。
を求めよ。 (3) t が
を動くとき、
の最大値と最小値を求めよ。
[解答へ]
[3] 
とする。表が出る確率がp，裏が出る確率が
である1枚のコインを使って次のゲームを行う。
・ゲームの開始段階で点数は0点。
・コインを投げ続け、表が出るごとに1点加算し、裏が出たときは点数はそのまま。
・2回続けて裏が出たらゲームは終了。
0以上の整数nに対し、ゲームが終わったときにn点となっている確率を
とする。
(1) 
，
をpを用いて表せ。 (2) 
をnとpを用いて表せ。 (3) 
を満たす実数xに対して次式が成り立つことを示せ。 必要ならば、
のとき
であることを証明なしで使ってもよい。 (4) 無限級数
をpを用いて表せ。 [解答へ]
[4] 数列
を
により定め、数列
を
により定める。ただし、
であるものとする。
(1) 
に対して、
を求めよ。 (2) 
(mは整数)に対して、
を求めよ。 (3) 無限級数
を求めよ。 [解答へ]
[5](1) 関数
(
)の増減を調べ、グラフの概形をかけ。
(2) 実数x，y，zが、条件
を満たしながら動くとき、xが取り得る値の範囲を求めよ。
[解答へ]
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を
に対して
と定める。
(
)
