東京科学大理工学系数学'25年前期[3]
とする。表が出る確率がp，裏が出る確率が
である1枚のコインを使って次のゲームを行う。
・ゲームの開始段階で点数は0点。
・コインを投げ続け、表が出るごとに1点加算し、裏が出たときは点数はそのまま。
・2回続けて裏が出たらゲームは終了。
0以上の整数nに対し、ゲームが終わったときにn点となっている確率を
とする。
(1) 
，
をpを用いて表せ。 (2) 
をnとpを用いて表せ。 (3) 
を満たす実数xに対して次式が成り立つことを示せ。 必要ならば、
のとき
であることを証明なしで使ってもよい。 (4) 無限級数
をpを用いて表せ。
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解答 問題文に「ゲームが終わったとき」と書かれているので、最後に2回続けて裏が出た場合を考えることになります。3回続けて裏が出ることはないので、表を〇、裏を●と表すと、最後の3回は〇●●になります。最後の3回について〇●●となる確率は
です。 ･･･①
(1) ゲームが終わったとき1点となっているのは、最後の3回が〇●●で、この中に〇が1回あるので、この以前に〇はありません。●が3回連続することはないので、最後の3回以前は、まだ始めていないか、●のいずれかです。①より、前者の場合の確率は
，後者の場合の確率は
であり、両者は排反なので、求める確率
は、 
......[答]ゲームが終わったとき2点となっているのは、最後の3回の中に〇が1回あるので、この以前に〇が1回あります。●が2回続くとそこで終了してしまうので、最後の3回以前についてこうなる出方は、(i) 〇，(ii) ●〇，(iii) 〇●，(iv) ●〇●のいずれかです。①より、
(i)の確率は、
(ii)の確率は、
(iii)の確率は、
(iv)の確率は、
(i)，(ii)，(iii)，(iv)は排反で、求める確率
は、 
......[答]
(2) (1)と同様に考えます。ゲームが終わったときにn点となっているのは、最後の3回のなかに〇が1回あるので、この以前に〇が
回あります。●が2回続くとそこで終了してしまうので、こうなる出方は、
回の〇を並べてできる
個の〇の並びの前後、〇と〇の間、合わせてn個の位置に●が入るか入らないかがあり、以下では●の位置が
になることに注意して、 ･･････
･･････
･･････
･･････
･･････
･･････
･･････
･･････
･･････
･･････
(pの並びの間、前後のnカ所に
が入ります)
･･･②ゲームが終わったとき0点になるのは●●と出る場合で、その確率
は
です。②は
の結果を含みます。よって、 
......[答]別解．以上の式変形は、元々の
個の項の和を、右側から2項ずつの和をまとめている(まとめるたびに
が1つずつ出てくる)のですが、分かりにくいかも知れません。漸化式を立てて解答してみます。 1回目に〇が出てゲームが終了したときにn点となる確率を
，1回目に●が出てゲームが終了したときにn点となる確率を
とします。両者は排反で
です。
は①より、
です。
は(1)の●〇●●の場合で、
です。1回目に〇が出てゲームが終了したときに
点となる確率
は、2回目に〇が出て2回目以降の得点がn点になる場合(確率
)と、2回目に●，3回目に〇が出て3回目以降の得点がn点になる場合(確率
)を合わせて、 
･･･③1回目に●が出てゲームが終了したときに
点となる確率
は、2回目に〇が出て3回目以降でn点となる場合で、③を用いて、 
とおくと、
･･･④
とおくと、
･･･⑤ 
∴ 
④－⑤より、 となります。
(3) 
とおくと、
です。 これより、
ここで
とすると、
です。また、
のとき
なので、
です。よって、
であり、
が成り立ちます。 注．
をm回微分すると、
(4) ②より、
(nを1つずらした)(3)の結果で
と見ると、 
......[答]
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出題大学に属します。なお、解答は、
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は、初項
，公比
の等比数列で、
，
は初項
，公比
の
で割ると
です。
であり
なので、
は関数
の