東京科学大理工学系数学'25年前期[4]
数列
を
により定め、数列
を
により定める。ただし、
であるものとする。
(1) 
に対して、
を求めよ。 (2) 
(mは整数)に対して、
を求めよ。 (3) 無限級数
を求めよ。
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解答 フィボナッチの数列の問題ですが、漸化式
(
) ･･･①
の最初の方の項を書くと、1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，･･･ となっています。
(1) 
，
･･･② 
，
，
となっているので、nが偶数のときに
，nが奇数のときに
(＊)となっていることが予想されるので、これを数学的帰納法により証明します。・
，
のとき、(＊)は②より成り立ちます。 ・kを自然数として、
，
のとき(＊)が成立すると仮定します。つまり、
，
が成り立つと仮定します。 漸化式①を用いると、
よって、
，
のときも(＊)が成立します。 以上より、数学的帰納法により(＊)が成立します。nが偶数のときに
，nが奇数のときに
......[答] 別解．
と①を満たす数列の一般項
は、特性方程式：
の解
(
，
とします)を用いて、 と表せます。これを用いて求めることもできます。
(2) 
･･･④ を用いて、
∴ 
......[答]
(3) mを自然数として、
より、
となるので、 
･･･⑤ここで、
，
より、
です。
が問題になりますが、
より、数列
の最初の方を調べると、
，
，
，
，
，
，
，
となっていて、
，
となることが予測できます。
のとき、予測は成立します。
，
が成立するとき、 となるので、帰納的に予測は成立します。
これより、
であって、 
......[答]
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(
)
(
)
･･･③
(∵ ③)
(奇数)とすると、
．
となるので、
(∵ ①)
とすると、
)
，
です。よって、⑤は、