東京科学大理工学系数学'25年前期[5]
(1) 関数
(
)の増減を調べ、グラフの概形をかけ。
(2) 実数x，y，zが、条件
を満たしながら動くとき、xが取り得る値の範囲を求めよ。
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解答 微分法を応用して方程式の解を考える問題です。
(2) 問題文の条件式の第3式と第4式により、
，
より、x，y，zは、0以外の相異なる3実数なので、kを適当な実数として、x，y，zは、方程式
の0でない相異なる3実数解です(微分法の方程式への応用(2)を参照)。
右図において、
のグラフと直線
の交点を考えると、両者がy軸(
)上以外に相異なる3交点を持つのは、
，
の場合で、xは、方程式
の解のうち最小のものです。
のとき、右図より
です。
のとき、右図より、xは
より大きく、
のときの方程式の解のうちの最小のもの(αとします)よりも小さくなります。
のとき
のグラフと直線
は
において接するのでこのときの方程式、∴ 
(つまり、
)以上より、xが取り得る範囲は、
，
.......[答]
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，
，
より、
のグラフを描くと右図。