東京科学大理工学系数学'25年前期[1]
関数
を
に対して
と定める。
(1) 不定積分
を求めよ。 (2) 
(
)の逆関数を
とする。また、a，bを
，
となる実数とする。このとき定積分 の値を求めよ。
(3) 関数
を
に対して
と定める。
このとき
について、定義域を
とする逆関数
が微分可能であることは証明なしに認めてよい。関数
を
に対して と定めるとき、
を求めよ。
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解答 (3)は「逆関数」ということで混乱しそうですが、
，
ということです。
(2) 
⇔ 
なので、
とおくと、
，x：
のとき、
，
より、y：
，(1)の結果を用いて、 
......[答]
(3) 
の両辺をxで微分すると、 
⇔ 
より、これより、
として置換積分を行うと、
，v：
のとき、
より
であり、
(逆関数の性質
に注意)より、x：
，②を用いて、
(∵ ①)
((1)の結果より)
......[答]
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