東京科学大理工学系数学'25年前期[2]
空間の点
を通り
を方向ベクトルとする直線を
とし、点
を通り
を方向ベクトルとする直線をmとする。
(1) Pを
上の点とし、Qをm上の点とする。また、直線PQは直線
と直線mに垂直であるとする。このときPとQの座標、および線分PQの長さを求めよ。 (2) 
上に2点 があり、m上に2点
があるとする。ただし、t は実数とする。四面体ABCDの体積を
とする。
を求めよ。 (3) t が
を動くとき、
の最大値と最小値を求めよ。
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解答 本問では、問題文を見てすぐに気づくことがあります。直線
の方向ベクトルのz成分が0で
上の2点A，Bのz座標がともに1であることと、直線mの方向ベクトルのz成分が0でm上の2点C，Dのx座標がともに1であることです。これは、本問の重大なヒントで以下ではこれを利用して考えていくことにします。なお、空間ベクトルを参照してください。
の方向ベクトルのz成分は0であり、直線
は点
を通るので、直線
は平面
上の直線です。実際に
上の2点A，Bのz座標は1です。 ･･･①
mの方向ベクトルのx成分は0であり、直線mは点
を通るので、直線mは平面
上の直線です。実際にm上の2点C，Dのx座標は1です。 ･･･②
①より、直線
上の点
は、tを実数として、
･･･③
，
より、
上の点について
は、
を満たします。
②より、直線m上の点
は、sを実数として、
･･･④
，
より、m上の点について
は、
･･･⑤
を満たします。
･･･⑥
は、mの方向ベクトル
と垂直で、
･･･⑦⑥より
，⑦に代入して、 
∴ 
⑥に代入して、
∴ 
よって、Pの座標は
......[答]，Qの座標は
......[答]
∴ 
......[答]
(2) 
のとき、A
，B
，C
，D
であり、①より線分CDと平面
との関係を調べると、Cのz座標は1より大きく、Dのz座標は1より小さく、右図のように線分CDは平面
と交点Mを持ち、⑤で
とすると、
より
で、Mの座標は
･･･⑧このとき、四面体ABCDを平面
で切ると、四面体CABMと四面体DABMに分かれます。2つの四面体の底面である△ABM(平面
上にある)の面積Sは、 Cのz座標は3，△ABMは平面
上にあるので、四面体CABMの高さは2，Dのz座標は
なので、四面体DABMの高さは4です。よって、四面体ABCDの体積
は、⑨より、 
......[答]
(3) 
のときにも、(2)と同じように計算したいのですが、
のz座標は、
のとき、
より
なので、Dは平面
から下側にありますが、
のz座標は、
，つまり、
のときには、Cは平面
から上に、
のときには、Cは平面
よりも下にあります。 CとDのz座標について、
より
なので、
の場合でも、直線m上で、3点M，C，Dは上からこの順に並びます。 ･･･⑩
なお、Mが直線mと平面
との交点でもあることに注意すると、
のときにも、Mの座標は
です。 ・
のとき、四面体ABCDを平面
で切ると、体積が0になる場合も含めて、四面体CABMと四面体DABMに分かれます。2つの四面体の底面である△ABMの面積Sは、 
，
(
より正です) ･･･⑪Cのz座標は
なので、四面体CABMの高さは
，四面体DABMの高さは
です。四面体ABCDの体積
は、⑪より、 
･･･⑫・
のとき、四面体CABMの高さは
，四面体DABMの高さは
のままです。四面体ABCDの体積は、⑩より、四面体DABMの体積から四面体CABMの体積を引いたものになり、四面体ABCDの体積
は、⑪より、 
･･･⑬よって⑫，⑬より、いずれの場合も
です。
は周期
の周期関数なので、
の範囲で考えます。
を微分すると、 ここで、
(
)より、
のとき
，即ち、
の範囲では、
(2)の結果より
増減表より、
の最大値は
，
の最小値は
......[答]
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各問題の著作権は
出題大学に属します。なお、解答は、
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上の点P
，m上の点Q
について、
は、
の方向ベクトル
と垂直で、
，
･･･⑨
