東工大数学'96年前期[4]
関数
は微分可能で次の(イ)，(ロ)，(ハ)をみたすものとする。
(イ) 
のとき
(ロ) 
(ただし、
) (ハ) 曲線
上の点P
(
)における接線とx軸との交点をQ，法線とx軸との交点をRとしたとき、線分QRの長さ
は関係式 をみたす。
このとき次の問いに答えよ。
(1) 
で
は単調増加で、
に対し
をみたすことを示せ。 (2) 点Pが曲線
(
)上を動くとき
の最小値を求めよ。
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解答 最近、あまり見かけなくなった
のまま考えてゆける問題です。こうした抽象的な雰囲気を毛嫌いする受験生が多いのですが、具体的な
の形が与えられているよりも、面倒な計算をしなくてすむ分だけラクな問題と思って頂きたいものです。
(1) 点P
における接線は、 x軸との交点Qは
として、 点P
における法線は、 
(
)x軸との交点Rは
として、 
･･･②条件(イ)より
は
において単調増加で、条件(ロ)より
よって、①のQのx座標について、
②のRのx座標について、
従って線分QRの長さ
は、 条件(ハ)より、
よって、
tをx (
)に書き直して、 
･･･③両辺をxで微分すると、
より、
･･･④
これより、
は
において単調増加です。･･･⑤
③より、
∴ 
注．ここで、④より、
，
となり、
の具体的な形が求まってしまいます。 
，
を満たす実数cが存在します。⑤より、
∴ 
(2) 条件(ハ)より、
において、
③，④を用いると、
･･･⑥
は
において単調増加で
ですが、
となるxが
の範囲に存在するかどうかはわかりません。・
であれば、
より、
となるxが
の範囲に存在するので、このxをαとします。
は単調増加なので、
においては
，
においては
また、③より、
∴ 
(
)よって、
増減表より、
は
において最小値
をとります(関数の増減を参照)。 ・
のときには、
において
となるので、
となるxは存在しません。⑥において、
より
となり、
は
において単調増加。 ∴ 
以上より、
の最小値は、
のとき
，
のとき
......[答]
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(
)より、
･･･①
