東大理系数学'02年前期[1]

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2つの放物線

が相異なる2点で交わるような一般角θ の範囲を求めよ。

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解答　高校2年生の中間試験の問題としてちょうど良い問題です。

･･･①

･･･②

①，②より、yを消去して、

展開して整理すると、

これがxについて異なる2解をもつためには、右辺が正であればよい(2次方程式を参照)。
∴

より、

の範囲では、

一般角とするために、nを整数として、

を加え、(一般角を参照)

......[答]

別解　①，②の放物線は、原点に関して対称です(2次関数を参照)。①は下に凸、②は上に凸なので、両者が相異なる2点で交わるためには、①のグラフが原点の下側を通ることが必要十分です。
よって、

これで③が得られます。

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