東大理系数学'02年前期[2]
nは正の整数とする。
を
で割った余りを
とおく。
を満たすことを示せ。
(2) 
に対して、
，
は共に正の整数で、互いに素であることを証明せよ。
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解答 多項式の除算と数学的帰納法の融合問題です。(2)では、整数もからんできますが、背理法を用いることで証明ができます。
なお、この問題で登場する数列は、
を満たし、東大で頻出のフィボナッチの数列です。
(1) 題意より、
に対して、 とおくことができます。
ここで、
とすると、 
･･･②
①両辺にxをかけて変形します。
･･･③②は、
を
で割った余りが
だと言っています。
③は、
を
で割った余りが
だと言っています。
②，③を比較することにより、
に対して、 
･･･④
i) 
のとき、 ①において、
とすると、 より、
よって、
，
は共に正の整数で、互いに素(最大公約数が1)です。
ii) 
のとき、成り立つとして、
，
は共に正の整数で、互いに素です。 ･･･⑤ このとき、
，
も共に正の整数です。
ここで、
，
が互いに素ではないと仮定します。 ･･･⑥ (背理法については、証明の技巧を参照)すると、
，
は2以上の公約数sをもつはずです。
このとき、p，qを正の整数として、
，
とおくことができます。④より、 
ですから、
と
が2以上の公約数sをもつことになり、
，
が互いに素であるとした数学的帰納法の仮定⑤と矛盾します。
従って、
，
が互いに素ではないとした仮定⑥は誤りで、
，
は互いに素です。よって、
のときも成り立ちます。1)，ii)より、
に対して、
，
は共に正の整数で、互いに素であることが示されました。(証明終)
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