東大理系数学'07年前期[4]
以下の問いに答えよ。
(1) 実数aに対し、2次の正方行列A，P，Qが、5つの条件
，
，
，
，
をみたすとする。ただし
である。このとき、
が成り立つことを示せ。 (2) aは正の数として、行列
を考える。このAに対し、(1)の5つの条件をすべてみたす行列P，Qを求めよ。 (3) nを2以上の整数とし、
をみたす整数kに対して
とおく。行列の積
を求めよ。
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解答 東大数学では入試技巧など通用しない、というのが、私の持論ですが、こういう問題を見ると、東大理系を目指すのであれば、世間で流通している入試技巧は一通りマスターしていて当然、と言うこともできるのです。
何の前提知識もなく、行列の定義と基本的な計算原理(行列を参照)を知っているだけでも、この問題の解答を書くことができますが、スペクトル分解を知っていれば、この問題の解答を10分もかからずに即座に書き下すことができます。
問題文の5つの条件を見て、P，QはAの射影子としての性質を持っている(「スペクトル分解」、「射影子」という用語は、固有ベクトルが直交しているようなときに使うので、この問題では正確には射影子ではありません)ということは知識のある人なら一見してわかってしまいます。すると、この解答をネット上に出すだけで著作権侵害と言われかねないなと思うくらいに、あとは一本道です。わざわざ、こんな前置きを書いているのも、著作権対策、ということで、スペクトル分解について知識があるという前提で考えていきます。
(2) 
より、
従って、
が存在します。(逆行列を参照)
(1)で示した式両辺の右側から
をかけて、 ∴ 
･･･① (Eは2次の単位行列)問題文で与えられた条件：
･･･②
×①－②より、
②－a×①より、
......[答]
(3) 
･･･③より、
と予測できます。数学的帰納法によって予測が正しいことを示します。 (I) 
のとき、②より
，よって予測は正しいことがわかります。 (II) 
のとき予測が正しいとして、 が成り立ちます。
両辺に、
を左からかけると、 よって、
のときにも予測は正しいことが言えます。 (I)，(II)より、予測はnが2以上の整数のとき正しいことが示せました。
これを用いて、
......[答]
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より、
