東大理系数学'08年前期[1]
座標平面の点
を
へ移す移動fを考え、点Pの移る行き先を
と表す。fを用いて直線
，
，
，･･･ を以下のように定める。
・
は直線
である。 以下
を1次式用いて
と表す。
(2) 不等式
が定める領域を
とする。
，
，
，･･･ すべてに含まれるような点の範囲を図示せよ。
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解答 (2)は、もしかして無限角形？と思いきや、やや拍子抜けでした。
：
上の点が移動fによって、どういう点に移動するのかを考え、移動先の点が乗っている直線
を求めてみます。
とか
とおくことになりますが、
か
が0の場合には困ることが起きるので、別扱いにして考えることにします。
まず、
では、
が直線になりません。
か
のどちらか一方は0になりません。そこで、(i) 
のとき、
，
，
とおき、P
として、実数tがいろいろな値をとるとき、
は、直線
を描きます。 
：
より、
，
･･･① ここで、
とすると、①と一致するので、(i)，(ii)合わせて、
，
......[答]
(2) (1)より、
，
こうして、たくさんの直線ができるわけですが、無限に存在する直線で囲む図形だとすると、
が無限角形になりかねません。
そこで、これらの直線がどのように交点を作るかを調べます。
：
と、
：
を連立すると、
，
となります。
がfによって、どこに移るかを調べます。 となって、自分自身に移ります。
ということは、
は
と
の交点であるとともに、
上の点でもあり、繰り返しfによって移動させると、全てのnについて、
上の点だということです。
言い換えると、
は全て
を通る、ということです。
であれば、領域を求めるためには、
，
，
，･･･ の中で、傾きが最大の直線と最小の直線を求めればよいことになります(不等式と領域を参照)。(1)の結果より、
特性方程式は、
∴ 
･･･④ ③－④より、
直線
の傾きは、
は単調増加な数列で、
また、
のとき、
，
，
で、
は直線：
に近づきます。近づきますが、
が
に一致するわけではないので、
であっても、
かつ
の部分は、
という領域に含まれます。
より、
，
，
，･･･ すべてに含まれるような点の範囲は、右図で黄緑色に着色した部分(直線
上(点線、及び、白マル)を含まず、直線
上の
の部分(太線)を含む)。
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上を動くとき、
が描く直線を
とする(
)。
，
を
，
で表せ。
：
より、
，
です。
のとき、
で
とすると、
，
，
として、
として、
，
：
，つまり、
，
：
，つまり、
･･･③
より、
(
のときもこれでよい)
，公比：
の