東大理系数学'11年前期[1]

東大理系数学'11年前期[1]

座標平面において、点P

を中心とする半径1の円をCとする。aを

を満たす実数とし、直線

とCとの交点をQ，Rとする。

(1) △PQRの面積

を求めよ。

(2) aが

の範囲を動くとき、

が最大となるaを求めよ。

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解答　弦の長さを、点と直線の距離の公式から考える標準的な最大・最小問題です。

(1)

は、

とすると、aの値にかかわらず

となるので、定点

を通り傾きaの直線を表します(定点を通る直線を参照)。

点P

から直線

，つまり、

に下ろした垂線PHの長さは、

　(

，点と直線の距離を参照)

......[答]

(2)

のとき、

　(商の微分法を参照)

とすると、

　(

)

の範囲で増減表は(関数の増減を参照)、

a	0				1
		＋	0	－

これより、

を最大とするaは、

......[答]

追記．(1)のPHをaの関数とみて

とすると、

において、

より、

は減少関数で、

です。これより、

となります。
従って、

のとき、直線と円は必ず2交点をもちます(図形的に明らかですが)。
また、(2)では、

(

)とおくと、

　(2次関数の最大最小を参照)

より

(

を満たす)のとき

最大となりますが、このとき、

，

より、

となります。

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