東大理系数学'12年前期[2]
図のように、正三角形を9つの部屋に辺で区切り、部屋P，Qを定める。1つの球が部屋Pを出発し、1秒ごとに、そのままその部屋にとどまることなく、辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する。球がn秒後に部屋Qにある確率を求めよ。
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解答 9部屋ありますが、うまく考えて行けば、9個の数列の連立漸化式にすることもなく、2項間漸化式で解決できます。
右図のように9部屋に名前をつけます。奇数秒後に球が部屋P，部屋Q，部屋Rにいることはなく、偶数秒後には、球は、部屋P，部屋Q，部屋Rのいずれかに来ます。また、対称性を考えると、部屋Qと部屋Rに来る確率は同じです。部屋Pに来る確率を考えれば、部屋Qに来る確率は余事象の確率として捉えることができて、漸化式を立てることができそうです。
秒後に球が部屋Pにある確率を
とします。最初に部屋Pにあったので、
とします。
秒後に球が部屋Qにある確率は
です。
秒後に球が部屋Pにあるとき(確率
)、
秒後にも球が部屋Pにあるのは、
秒後に部屋Aに行き(確率
)、
秒後に部屋Pに戻る(確率1)か、
秒後に部屋Bに行き(確率
)、
秒後に部屋Pに戻る(確率
)か、
秒後に部屋Cに行き(確率
)、
秒後に部屋Pに戻る(確率
)、
秒後に球が部屋Qにあるとき(確率
)、
秒後に球が部屋Pに来るのは、
秒後に部屋Bに行き(確率
)、
秒後に部屋Pに来る(確率
)
秒後に球が部屋Rにあるとき(確率
)、
秒後に球が部屋Pに来るのも同様に、その確率は
よって、
秒後に球が部屋Pにある確率
は、
･･･①
と
をともにαとすると、
･･･② ∴ 
数列
は、初項：
，公比：
の等比数列です。
∴ 
球が
秒後に部屋Qにある確率は、
よって、球がn秒後に部屋Qにある確率は、
nが奇数のとき0，nが偶数のとき、
......[答]
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