東大理系数学'12年前期[6]
行列
に対して
と定める。
a，b，cは
，
を満たす実数とする。行列A，B，C，Dを次で定める。
また実数xに対し
とする。
このとき以下の問いに答えよ。
(1) 各実数tに対して、xの関数
の最大値
を求めよ。(ただし、最大値をとるxを求める必要はない。) (2) すべての実数tに対し
が成り立つことを示せ。
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解答 
は対角和と呼ばれ、行列Pの対角成分の和になります。2次正方行列では、
成分と
成分の和になります。
本問は、途中の計算がかなり面倒で、冷静かつ正確な計算力が要求されます。
･･･①
なので、
のとき、
は、
のときに最大値：
をとります。
のとき、
なので
です。
のとき、
は、
のときに最大値：
をとります。
以上より、3通りの場合をまとめて、
......[答]
(2) ①で、
，
とすることにより、 以上より、
･･･②⇔
⇔
⇔
･･･③この左辺は、
(
)とおくと、 
より、とおくと、
，
より、
において、
従って、
において、
よって、③が成り立つので②が成り立ちます。
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，
，
，
，
，
とすることにより、
成分は、
成分は、
成分は、
成分は、
より
，また、
