東大理系数学'18年前期[2]
数列
，
，･･････，を
(
)
(1) 
とする。
を既約分数
として表したときの分母
と分子
を求めよ。 (2) 
が整数となる
をすべて求めよ。
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解答 本問では、シラミつぶしで試験時間内に充分に解答できます。なお、整数、組み合わせを参照してください。
(1) 
･･･①
と
が公約数d(
)をもつとすると、k，lを整数として、
は整数なので、
に限られ、これは、
と
が互いに素であることを意味します。
とnが公約数d(
)をもつとすると、k，lを整数として、
は整数なので、
に限られ、これは、
とnが互いに素であることを意味します。
よって、①のうち、分子の
と分母の
は互いに素です。また、nと
のいずれか一方は偶数なので、
は整数であり、
と互いに素です。よって、
となる既約分数
，即ち、互いに素な自然数の組
，
は、
とやっていくと、
では
ですが、
では
になりそうです。まず、これを確かめます。 よって、
は、
においては単調増加で、
のときは、
ですが、
で、
においては、
･･･③
です。一方、②によると、 となりますが、③より、
では、
にかける数
が1より小さくなるので、
になります。そこで、nを次第に大きくしながら
がどうなるか調べてみます。 上記では直接、定義式：
を用いて計算しましたが、
から計算するなら漸化式①を用いる方がよいと思います。上記では、
で
になりましたが、仮になかなか見通しが立たず、途中の
から調べるのであれば、定義式を使わなければなりません。定義式を使うから
となるnが見つかる、という保証はありませんが、見つからないなら、別のことを考えなければなりません。
ともかく上記より、
では、
であり、
において
なので、
において
であり、
が整数になることはありません。
において
が整数になるのは、④，
，
より、
，
のみです。
よって、
が整数となる
は、
......[答]
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，
，
，
(
) ......[答]
，
，
，
･･･②
，
，
，
，
･･･④
