東京大学理系2018年前期数学入試問題
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[1] 関数
(
)
，
のときの極限を調べよ。
[解答へ]
[2] 数列
，
，･･････，を
(
)
(1) 
とする。
を既約分数
として表したときの分母
と分子
を求めよ。 (2) 
が整数となる
をすべて求めよ。 [解答へ]
[3] 放物線
のうち
をみたす部分をCとする。座標平面上の原点Oと点A
を考える。
を実数とする。点PがC上を動き、点Qが線分OA上を動くとき、
をみたす点Rが動く領域の面積を
とする。
および
，
を求めよ。
[解答へ]
[4] 
とし、
とおく。次の2条件をみたす点
の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。
条件1：方程式
は相異なる3実数解をもつ。 [解答へ]
[5] 複素数平面上の原点を中心とする半径1の円をCとする。点
はC上にあり、点
とは異なるとする。点Pにおける円Cの接線に関して、点Aと対称な点を
とする。
とおき、wと共役な複素数を
で表す。
(1) uと
をzについての整式として表し、絶対値の商
を求めよ。 (2) Cのうち実部が
以下の複素数で表される部分を
とする。点
が
上を動くときの点
の軌跡を求めよ。 [解答へ]
[6] 座標空間内の4点O
，A
，B
，C
を考える。
とする。点Pが線分OA，AB，BC上を動くときに点Pを中心とする半径rの球(内部を含む)が通過する部分を、それぞれ
，
，
とする。
(1) 平面
が
，
双方と共有点をもつようなt の範囲を与えよ。さらに、この範囲のt に対し、平面
と
の共通部分および、平面
と
の共通部分を同一平面上に図示せよ。 (2) 
と
の共通部分が
に含まれるためのrについての条件を求めよ。 (3) rは(2)の条件をみたすとする。
の体積をSとし、
と
の共通部分の体積をTとする。
，
，
を合わせて得られる立体Vの体積をSとTを用いて表せ。 (4) ひきつづきrは(2)の条件をみたすとする。SとTを求め、Vの体積を決定せよ。
[解答へ]
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の解を
とすると
である。