東大理系数学'18年前期[6]
座標空間内の4点O
，A
，B
，C
を考える。
とする。点Pが線分OA，AB，BC上を動くときに点Pを中心とする半径rの球(内部を含む)が通過する部分を、それぞれ
，
，
とする。
(1) 平面
が
，
双方と共有点をもつようなt の範囲を与えよ。さらに、この範囲のt に対し、平面
と
の共通部分および、平面
と
の共通部分を同一平面上に図示せよ。 (2) 
と
の共通部分が
に含まれるためのrについての条件を求めよ。 (3) rは(2)の条件をみたすとする。
の体積をSとし、
と
の共通部分の体積をTとする。
，
，
を合わせて得られる立体Vの体積をSとTを用いて表せ。 (4) ひきつづきrは(2)の条件をみたすとする。SとTを求め、Vの体積を決定せよ。
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解答 本年第3問もそうでしたが、本問も通過領域を詳細に相手にすると破綻します。
，
，
は半球の間に円柱が挟まった立体であることは明らかなので、細部には立ち入らず、概略を説明する程度で、体積の計算に移るべきです。
点Pを中心とする半径rの球面の方程式を、PがOA上、AB上、BC上にある場合に分けて書くと以下のようになります。
PがOA上の
にあるときの球面を
として、
：
･･･①
の範囲で変化するとき、
とその内部が通過する部分が
です。
PがAB上の
にあるときの球面を
として、
：
･･･②
の範囲で変化するとき、
とその内部が通過する部分が
です。
PがBC上の
にあるときの球面を
として、
：
･･･③
の範囲で変化するとき、
とその内部が通過する部分が
です。
これらをxy平面の上方から眺めたときの図を右図に示します。B，Cは重なって見えます。
(1) 平面
(右図青線)上では、
の断面にできる円は、①で
として(円の方程式を参照)、
(
) ･･･④この円が存在するために、
，つまり、
･･･⑤
このとき、平面
は
と共有点をもちます。
平面
上では、
の断面にできる円は、③で
として、 
･･･⑥
・平面
と
との共通部分は、④で
のときに
の断面にできる円：
のうち
の部分の半円と、④で
のときの
の断面にできる円：
のうち
の部分の半円に挟まれた部分で、
においては④で
より
，即ち、
です。右図(平面
で切った断面)でピンク色の部分と橙色の部分を合わせた領域になります。 ・平面
と
の共通部分は、⑥で
のときに
の断面にできる円：
のうち
の部分の半円と、⑥で
のときの
の断面もできる円：
のうち
の部分にできる半円に挟まれた部分で、
においては⑥で
より
，即ち、 です。右図で黄色の部分と橙色の部分を合わせた領域になります。
ただし、
・
では、
で
，
の断面の半円の方が
の断面の半円よりも半径が大きくなります。 ・
では、
の断面の半円と
の断面の半円の半径は等しくなります。 ・
では、
で
，
の断面の半円の方が
の断面の半円よりも半径が大きくなります。 以上より、
，
，
の場合に分けて、平面
と
の共通部分および、平面
と
の共通部分を同一平面上に図示すると、右図のようになります。桃色着色部と橙色着色部を合わせた領域が
内部、黄色着色部と橙色着色部を合わせた領域が
内部、橙色着色部が
と
の共通部分です。
(2) 平面
上で
の断面にできる円は、その中心は
であって、②で
(
)として、 
･･･⑧です。
さて、(1)の領域を図示すると、平面
上で、
，
の共通部分(右図橙色着色部)が、⑧の円((1)の図では、(1,???t,???0)を中心とする半径rの円、薄い灰色で描かれています)の外に出てしまう可能性があることがわかります。共通部分のうち円の中心
から最も遠い点Qの座標は、
です。(1)より、
と
の共通部分が存在するのは、
のときですが、
と
の共通部分が
に含まれるためには、点Qが円⑧に含まれることが条件で、そのためには、Qと円の中心
との距離が半径以下であればよく、 
なので、
，よって⑨右辺のt の2次関数の軸について
なので、⑨右辺は
のとき最小値
をとり，⑨が
のすべてのt で成立するためには
かつ
，よって、
......[答]
(3) 
，
，
の体積はいずれもSです。
，
，
を合わせて得られる立体の体積は、
から
，
，
の体積を引き、
の体積を加えたものになります。(2)の条件が満たされていて
は
に含まれてしまうので、
の体積と
の体積は等しくなります。また、
と
の位置関係と、
と
の位置関係は等しく、
と
の体積はともにTです。
，
，
を合わせて得られる立体の体積Vは(右図参照)、
......[答]
(4) Sは、半径r，高さ1の円柱と半径rの球を合わせた体積で、
......[答] ･･･⑩
(1)と同様に考えると、球面
，球面
を平面
で切ったときの断面の円の半径は
です。
と
の共通部分を平面
で切ると断面は右図薄黄色着色部のようになります。
より
であって、その面積
は、1辺
の正方形の面積と半径
の円の面積の
の和であって、
と
の共通部分はxy平面に関して対称で(定積分と体積を参照)、これと⑩より、
......[答]
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，つまり、
･･･⑦
は
と共有点をもちます。
が
，
双方と共有点をもつのは、⑤かつ⑦のときで、
なので、
より
であって、
......[答]
･･･⑨
......[答]
