東大理系数学'18年前期[3]
放物線
のうち
をみたす部分をCとする。座標平面上の原点Oと点A
を考える。
を実数とする。点PがC上を動き、点Qが線分OA上を動くとき、
をみたす点Rが動く領域の面積を
とする。
および
,
を求めよ。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 2次関数のグラフが動き回るので東大理系2011年[6]を思い出させます。まずは常套的な解法で進めてみますが、試験会場ではあまりの手間で考えものです。本問では、どこかで常套的な解法を断念しないと大ケガになります。実戦的には、減点覚悟で、与式の意味を簡単に説明するに留めて積分計算に移るべきで、それなら大した問題ではありません。
放物線
上の点Pの座標を
,線分OA上の点Qを
とします。
,
です。
・・・① ①式で、
の部分は放物線
(2次関数を参照)の
の部分を原点を中心に
倍に縮小した図形を動きます。
ですが、
にこれを加えるということは、
をx軸正方向に
だけ平行移動することを意味します。
そこで、問題の雰囲気をつかむために、
の場合、
の場合、
の場合について、sを
の範囲で、0から1まで
ずつ動かして、
の放物線がどうなるかを図1に示します。試験会場では、
ずつ動かすくらいで充分に領域がどんなものかつかめるはずです。
こうした問題では、x,yのどちらかを固定して、他方がどのような範囲の値をとるか調べるのが常套手段ですが、ここでは、xを固定してyの取りうる値の範囲を考えてみます。
①より、
,
・・・②
,
より、
,

なので
より、
・・・③
①,②より、
・・・④ とおきます。 ③のもとに、sの2次関数④の
における最大最小(2次関数の最大・最小を参照)を考えることになりますが、ここで、
より、
・・・⑤ に注意します。
,つまり
のとき、②より、
,
(複号同順)
このsについて、複号がマイナスのsを
,複号がプラスのsを
とします。 ・・・⑥
だけx軸方向に平行移動した放物線の存在範囲を考えると、
・・・⑦ であること、また、⑤の
に注意してください。
ところで、2次関数④の軸の位置
と
の範囲との位置関係、⑦と
との関係を考えて、③をさらに場合分けして考える必要があります。
まず、
と
との大小を調べます、⑥で
とすると
なので、
と
で分けます。
と
との大小を調べると、⑥で
とすると
なので、
と
で分けます。
のとき
,
のとき
です。
のとき
,
のとき
です。
以上を③を考慮して整理すると、
(
です)のとき
,
・・・⑧
(
です)のとき、
,
・・・⑨
つまりsの範囲
は、⑦の
の内側にあります。
のとき
,
・・・⑩ となります。
また、④の軸の位置
がsの範囲
の中央にくるとき
として
,sの範囲
の右端にくるとき
として
,よって、④の軸の位置
は、
のとき
より、sの範囲
の左側にあります。
のとき
より、sの範囲
内の中央から左側にあります。
のとき
より、sの範囲
内の中央から右側にあります。
のとき
より、sの範囲
の右側にあります。 また、図1を見ると、
のときの放物線(
の範囲にある)と
のときの放物線(
の範囲にある)が共有点を持つ場合と持たない場合とで、違いがあることがわかります。共有点をもつとき、
,つまり、
,つまり
です。
のときは共有点を持ちません。
さらに、⑧,⑨の場合分けと、軸位置による場合分けを見ると、
の正負によっても分ける必要があります。
とすると
です。
よって、
,
,
で分けて考える必要があります。
・
のとき、
であることに注意して図2のようにxの範囲を分け、
における④の最大最小を考えます。
のときには、⑨より、
は⑦の範囲内にあります。(i)
のとき:⑤,⑧より④の最大値は
(⑦より
にはなりません),④の軸は
の左側で、
,つまり
(ii)
のとき:④の軸は
より左側にあって,④は、
(iii)
のとき:④の軸は
内の中央から左側で
,④は、
(iv)
のとき:④の軸は
内の中央から右側で
,④は、
(v)
のとき:④の軸は
より
より右側にあって、④は、
(vi)
のとき:⑤,⑩より④の最大値は
(⑦より
にはなりません),④の軸は
より右側で、
,つまり、
・
のとき、③を考慮し、
であることに注意してxの範囲を分け、
における④の最大最小を考えます。
のときと場合分けが異なります。また、
のとき
となり、以下の(iii)と(iv)の場合分けがなくなることにも注意してください。 (i)
のとき:⑤より④の最大値は
,④の軸は
より
より左側にあって、
,つまり
(ii)
のとき:⑤より④の最大値は
,④の軸は
の中にあり、
,つまり、
(iii)
のとき:④の軸は
内の中央から左側で
,④は、
(iv)
のとき:④の軸は
内の中央から右側で
,④は、
(v)
のとき:⑤より④の最大値は
,④の軸は
の中にあり、
,つまり、
(iv)
のとき:⑤より④の最大値は
,④の軸は
より右側にあって、
,つまり
となり、
のときの放物線と
のときの放物線が共有点を持たない場合、
であって、
,
より、
となり、
における④の最大最小を考えると、
の全範囲において、
と⑤より、
の最大値は
です。
これで領域を求めることができますが、以上のようなことを試験会場でやっていたらとても時間が足りません。本問の場合、面積を聞いているだけで、領域を求めよ、という問題ではなく、図1のような図を描いてみれば、面積を求める領域くらいなら充分把握できます。合格のためには、本問では減点覚悟で、以下に書くように、平行移動の状況を軽く説明する程度に留めて面積計算に移るべきです。
点Rが動いてできる領域は、放物線
の
の部分を、x軸正方向にkだけ平行移動させるときに通過する領域です。放物線
では、
のときに
であり、
という範囲をx軸正方向にkだけ平行移動させると、
という範囲に移ります。
また、
のとき
,
のとき
です。よって、点Rが動いてできる領域を、
のとき、
のとき、
のときの3通りに分けて図示すると図3のようになります。領域はいずれも、
に関して対称であることに注意すると、領域の面積
は以下のようになります。面積を求める定積分の式は、
の場合と
の場合とで同じです。
・
のとき、
・
のとき、
以上より、
のとき
,
のとき
,
,
......[答]
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
東大理系数学TOP 数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2025(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中!理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。