東大理系数学'11年前期[6]
(1) x，yを実数とし、
とする。tを変数とする2次関数
の
における最大値と最小値の差を求めよ。 (2) 次の条件を満たす点
全体からなる座標平面内の領域をSとする。 
かつ、実数zで
の範囲の全ての実数tに対してを満たすようなものが存在する。
Sの概形を図示せよ。
(3) 次の条件を満たす点
全体からなる座標空間内の領域をVとする。 
かつ、
の範囲の全ての実数tに対して、が成り立つ。
Vの体積を求めよ。
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解答 (1)はよくある2次関数の最大・最小問題です。(2)，(3)の題意が取りづらいのですが、問題文に「
の範囲の全ての実数tに対して」と書かれているので、
を(1)で求めた最大値
，最小値
で置き換えて不等式を考えます。
(2)と(3)で何が違うのだろうと思うかも知れません。話を
かつ
に限れば、(3)の条件を満たす
は、
を満たし、
，
，
，
を4頂点とする四面体の内側になりますが、(2)では、四面体が存在する
の範囲、つまり、
，
，
を3頂点とする三角形の内部(この三角形の上側に(3)の四面体が存在する)、を聞いています。つまり、(3)では立体を求めているのに対し、(2)では立体が存在する
の範囲を求めています。
(2)，(3)は、以下では細かく書いていますが、境界線となる直線、曲線が複雑に絡み合い、本番では正確な記述にこだわると猛烈に面倒で、時間をロスするので注意してください。
(1) x，yに対して、
の
における最大値を
，最小値を
とします(2次関数の最大最小を参照)。
のとき、
のグラフは下に凸な放物線で、右図より、(i) 
，つまり、
のとき、 
，
(ii) 
，つまり、
のとき、 
，
(iii) 
，つまり、
のとき、 
，
(iv) 
，つまり、
のとき、 
，
以上より、最大値と最小値の差は、
......[答]
(2) 
⇔ 
が
の範囲の全ての実数tに対して成り立つようなzが存在するために、
の最大値，最小値が
，
であることより、 
，
∴ 
･･･①
①を満たすzが存在するために、
∴ 
･･･②
以下、場合分けして②を調べます。 (i) 
のとき、(1)と②より、 ∴ 
(ii) 
のとき、(1)と②より、 分母を払って整理すると、
，
∴ 
境界線は、
，
，増減表は以下の通り(関数の増減を参照)。
における接線は
でこれは(i)の境界線です。
と
を連立すると、
，
∴ 
，
のとき
，
のとき
と
の交点は
，
です。 (iii) 
のとき、(1)と②より、 
より、
境界線は
と
を連立すると、
∴ 
，
のとき
，
のとき
と
の交点は
，
と
を連立すると、
∴ 
，
のとき
，
のとき
と
の交点は
，
(iv) 
のとき、(1)と②より、 
>>(i)～(iv)より、領域Sは、
かつ 
図示すると右図黄緑色着色部(境界線は、y軸上のみを除く。つまり、太線上を含み、点線上、白マルを含まない)。
(3) 今度は問題文の不等式を満たすzが存在する
の範囲を求めるのではなく、(2)の 
･･･①を満たす
の範囲を求めることになります。Vの体積を求めるので、z軸に垂直な平面で切ったときの断面を考えるために、以下ではzを固定して考えます。 (i) 
のとき、(1)(i)と①より、 (ii) 
のとき、(1)(ii)と①より、 但し、
，
のとき
です(
以外では
は領域外の点です)。
と
を連立すると、
のとき、
交点
は、
のとき
の範囲内の点，
のとき範囲外の点です。(iii)も含めて、後ろの注．で検討します。
また、
のとき、曲線
においては
，直線
においては
，また、直線
とx軸との交点
は
の範囲内にあります。(iii) 
のとき、(1)(iii)と①より、 
(
です)
より、
のとき、
また、
のとき、直線
においては
，交点
は
以外では領域外の点です。注．
と
との交点
は、
のとき領域
内の点ですが、
のとき領域
の中に入りません(以下の図は、この場合を想定して描かれています)。
のときには(iii)で直線
は境界線に出てきませんが、
のときには(ii)で
は境界線に出てきません。いずれにせよ、(ii)，(iii)合わせて、x軸，y軸，直線
，直線
，
，直線
に囲まれた図形になります。 
，
で
と直線
の位置関係が変わってしまうので、実は、本問では、
と指定されていることもあり、zを固定するよりもxを固定する方がラクです。(iv) 
のとき、 
，
以上より、領域Vをz軸に垂直な平面で切ったときの断面を、z軸に垂直にzx平面上に平行移動してできる領域は右図水色着色部。
この面積
は、△ABCの面積と長方形BCEDの面積の和から△BFGの面積を引き、さらに、曲線
(
)とy軸，直線FG：
，直線DE：
で囲まれる部分の面積を引いたものとして(定積分と面積を参照)、
(
に注意)Vが存在するのは
で、Vの体積は、 
......[答]
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つまり
と
より
なので、
と
を連立すると、
，
と
の交点は
，
なので、
です。
，
なので、
です。また、
より、
と
です。
です。
と
を連立すると、
(
なので、
です)
です。
と
を連立すると、
と
と連立すると、
，
(重解)，直線
と曲線
は
において接します。
