東大理系数学'18年前期[5]
複素数平面上の原点を中心とする半径1の円をCとする。点
はC上にあり、点
とは異なるとする。点Pにおける円Cの接線に関して、点Aと対称な点を
とする。
とおき、wと共役な複素数を
で表す。
(1) uと
をzについての整式として表し、絶対値の商
を求めよ。 (2) Cのうち実部が
以下の複素数で表される部分を
とする。点
が
上を動くときの点
の軌跡を求めよ。
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解答 「Cのうち実部が
以下の複素数で表される部分」、つまり、
という条件と、wの値域をどう結び付けるか、ということに苦労します。以下では、素直に考えてhang upに追い込まれますが、wの実部に目を付ければ何とかなるという、たまたま感はやや拭えずとも、2次方程式の理論の活用により、軌跡の有効部分を求めることができます。
原点をOとし、
とします。
はC上の点で
，
なので(極形式を参照)、
･･･①
，接線
に関して原点Oと対称な点をSとします。
であり、OSの中点が
なので、Sを表す複素数は、
･･･②
です。
直線QAと円Cとの交点のうちAでない方の点を
とします。
なので、QA // OSです。
より、四角形OAQSと四角形
は、平行四辺形かまたは等脚台形で、四角形OAQSが等脚台形なので、四角形
は、平行四辺形です。よって、
･･･③
直線
と実軸(x軸、直線OA)との交点をTとすると、線分OAと線分SQは直線
に関して対称なので、Tは直線SQ上の点です。
(1) 
，
，
，
の場合に分けて考えます。
の場合は、
の場合を実軸に関して折り返して考えれば同様です。 (i) 
のとき、Tはx軸上
の範囲にあります。 
(同位角)であり、
，また、△
は二等辺三角形なので、
，
で、
は、Aを時計回りに
回転させた点、つまり、Aを反時計回りに
回転させた点です。よって、
を表す複素数αは、①より、②，③より、
(ii) 
のとき、Tはx軸上
の範囲にあります。 
より
，
(同位角、OS // AQ)，また、△
は二等辺三角形なので、
よって、
で、
はAを反時計回りに
回転させた点で、(i)と同様に、
を表す複素数αは、
，③より、
(iii)(iv)の場合を含め、(i)，(ii)とも、
......[答] 
......[答] (
)
(2) (1)より
ですが、x，yを実数として、
とおき、2乗して分母を払い、
，
を代入すると、 これで軌跡の方程式はわかります。問題は、「Cのうち実部が
以下の複素数で表される部分」という条件です。C上の点
の実部は
です。これが
以下なので、
です。また、
は円C上の点なので、
，つまり、
，(1)より、 両式を辺々加えると、
(
)より、
(右辺も実数です)右辺をW，
とおくと、
であって、 
右図より、
(2次関数の最大最小を参照)，となりそうなのですが、これはうまく行きません。右図で想像がつくと思いますが、
であっても、
を満たしてしまうからです。
というわけで、
に着目してもzが「Cのうち実部が
以下の複素数で表される部分」を動く、という条件を考えることができません。
そこで、
を直接考えてみます。(1)より、
，
です。
は実数です(共役複素数を参照)。そこで、kを実数として、
･･･⑥とおきます。分母を払って整理すると、
･･･⑦これはzの2次方程式です。係数の
，
は実数で、⑦は実数係数の2次方程式なので、解の公式が使えます。zについて解くと、 
･･･⑧zが「Cのうち実部が
以下の複素数で表される部分」を動くとき、1か所だけzが実数になるところがあります。
です。
のとき⑥より
となりますが、このとき⑧の根号内(つまり判別式)が0となり、⑧が実数解を与えます。ですが、
以外のzは虚数(虚部が0でない複素数)です。
の
以外の点では、⑧の根号内は負です。よって、 
，即ち、
･･･⑨このとき、zの実部は
です。zの実部は
以下なので、 逆に⑨かつ⑩であれば、zの方程式⑦の解は、「実部が
以下の虚数」を与えます。
のときの
も含め、⑥，⑨，⑩より、wの実部
について、 
･･･⑪となります。
として、
です。
⑤，⑪より、求める
の軌跡は、放物線
の
の部分 ......[答]，
のとき
，
のとき
，放物線はy軸と
で交わります。軌跡を図示すると、右図実線。
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のとき、
であり、
です。
のとき、
であり、
です。
･･･⑤
，即ち、⑨(
です)に注意して、
･･･⑩
