東大理系数学'18年前期[4]
とし、
とおく。次の2条件をみたす点
の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。
条件1：方程式
は相異なる3実数解をもつ。
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解答 標準的な問題集にも載っているような問題で、本問は落とせません。
方程式
の解は、
とおいて、方程式
の解と一致します。
･･･①
の増減表は以下のようになります。
条件1より、3次方程式
が相異なる3実数解を持つのは、極大値
と極小値
の積が負になるとき(微分法の方程式への応用を参照)で、
つまり、
･･･②
のときです。
方程式
の解α，β，γ(
)のうち、βは、
の範囲にあるので、
ということは、
ということです。つまり、条件2より少なくとも、
･･･③
また、増減表より、
において
は減少で、条件③のもとに、
であるためには、
，
，
より、
が必要十分です(中間値の定理を参照)。
よって、
･･･④
③かつ④のとき、
，②より、
以上より、2条件をみたす点
の動きうる範囲は、②かつ③かつ④で、，また、境界線の方程式
と
を連立すると、
より、両曲線が
において接することに注意して、
かつ
......[答]
図示すると、右図黄緑色着色部(境界線上を含まず、白マルを除く)(領域を参照)。
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の解を
とすると
である。
，
