東大理系数学'21年前期[1]

abを実数とする。座標平面上の放物線
C
は放物線2つの共有点を持ち、一方の共有点のx座標はを満たし、他方の共有点のx座標はを満たす。
(1) のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。
(2) 放物線Cの通りうる範囲を座標平面上に図示せよ。

解答 (1)は何でもありませんが、(2)は、動く文字が1つなら、その文字について曲線の式を整理し、xの方を固定して文字を動かすことによりyの範囲をxを含む不等式の形に表すことができて、曲線の通過範囲を求めることができます。しかし、本問の場合では文字が2つ動き回るので、そうは行きません。
2変数関数の最大最小問題で、1文字を固定してもう1つを動かし、固定した方の文字を含んだ形で範囲を求めた後、さらに固定していた文字を動かして最大値最小値を求める、という解法があります。これを思い出して、本問でもまず片方を固定、さらにもう1つを動かす、つまり、曲線の動く範囲の境界線に文字を含み、さらにその文字を動かして、境界線の通過範囲を考えることにより、曲線の通過範囲を求める、というようにします。

(1) Cの方程式とを連立すると、
とおくと、題意より、2次方程式が、の範囲に1つずつ解を持つので、かつかつ (2次方程式の解の配置を参照),よって、
 ∴  ・・・@

 ∴
 ・・・A
以上より、点のとりうる範囲を図示すると、右図黄緑色着色部(境界線を含まない)
(2) bを固定すると、(1)の図より、 ・・・B であって、@,Aより、 ・・・C
Cの方程式より、
のとき、,Bより、 ・・・D
のとき、
Cより、
のとき、,よって、
 ・・・E
のとき、,よって、
 ・・・F
不等式E,Fで表される範囲(不等式の表す領域を参照)の境界線はいずれも、 ・・・G と、 ・・・H です。
そこで、
bがBの範囲を動くときに、境界線Gと境界線Hが動く範囲を考えます。
Gより、
のとき、より、Gは
bにかかわらず点を通過します。
のとき、
Bより、
のとき、,よって、
のとき、,よって、
これより、境界線G:は、bの範囲を動くとき、右図黄色着色部(境界線は含まず、点を含む)を通過します。
Hより、
のとき、より、Hは
bにかかわらず点を通過します。
のとき、
Bより、
のとき、,よって、
のとき、,よって、
これより、
これより、境界線H:は、bの範囲を動くとき、右図水色着色部(境界線は含まず、点を含む)を通過します。
境界線G,Hの通過範囲の境界線は、 ・・・I, ・・・J, ・・・K で、IとJは,IとKは,JとKはで交わります。 ・・・L
放物線
Cは、においては、Eより、曲線Gよりも上にあり、曲線Hよりも下にあります。従って、放物線Cは、曲線Gの通過範囲の下限(ではK,ではI)よりも上にあり、曲線Hの通過範囲の上限Jよりも下にあります。
また、放物線
Cは、においては、Fより、曲線Hよりも上にあり、曲線Gよりも下にあります。従って、放物線Cは、曲線Hの通過範囲の下限(ではK,ではJ)よりも上にあり、曲線Gの通過範囲の上限Iよりも下にあります。
よって、D,Lも考慮して放物線
Cの通過範囲は、
のとき、IJより、
のとき、KJより、
のとき、KIより、
のとき、JIより、
図示すると、右図黄緑色着色部(境界線上は含まない)

別解.放物線Cの式をabに関する方程式とみて、直線:(1)で求めたの範囲を通過する条件から、線形計画法によって、Cの通過範囲を求めることができます。ですが、やはり、の場合分けが必要です。



   東大理系数学TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2021
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元