東大理系数学'21年前期[3]
関数
に対して、
のグラフをCとする。点A
におけるCの接線を
：
(1) Cと
の共有点でAと異なるものがただ1つ存在することを示し、その点のx座標を求めよ。 (2) (1)で求めた共有点のx座標をαとする。定積分
を計算せよ。
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解答 微積分の計算問題です。(2)はあらゆるタイプの積分が登場します。難しくはないですが面倒です。慎重に計算しましょう。
と
を連立して、分母を払って整理すると、
よって、
以外の解は
のみで、Cと
の共有点でAと異なるものがただ1つ存在し、その点のx座標は、
......[答] (2) 
です。
とおくと、 
，
，
，
，
とおくと、
と
は、
(置換積分を参照)とおいて、
より、
，x：
のときθ：
(
，
)，よって、以上より、
......[答]
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)
，
より、点
より、
