(ii)
(iii)
をとる。xy平面上の点Pが次の条件(i)，(ii)，(iii)をすべて満たすとする。
である円錐面
の内側の点です。条件(iii)を満たす点は、Aを頂点とし軸に垂直に切った断面の直径の両端と頂点Aで作る角が
である円錐面
の内側の点です。
をxy平面(頂点を通る)で切ると、切り口は直線で挟まれた図形です。
をxy平面(頂点を通らない)で切ると、切り口は楕円です(2次曲線の分類を参照)。
とします。
です。条件(i)より
ということはありません。
として、
，
です。
，条件(ii)より、
･･･①
のとき、
でなければ、①は成立しません。ですが、条件(i)を満たさなくなります。また、
の場合は①は成立しません。よって
で、①は、
として2乗すると、
かつ
かつ
" または "
かつ
かつ
" ･･･②
として、
，
です。
･･･③
のとき③は成立しません。
のとき、両辺を2乗して、
･･･④
より、楕円は
の範囲に存在します。
より
に注意します。また楕円の内側に原点を含みます。
と
，
を連立すると、
の範囲では、
，
と直線
，直線
とは、点
，点
で交わります。
②，④より、Pのとりうる範囲は、"「
かつ直線
から下側であってかつ直線
から下側」または「
かつ直線
から上側であってかつ直線
から上側"であってかつ、"楕円
から内側"です。即ち、楕円
から内部であってかつ直線
から上側であってかつ直線
から上側になります(不等式の表す領域を参照)。図示すると、右図黄色着色部(境界線を含み、白マルを除く)。