東大理系数学'24年前期[6]
2以上の整数で、1とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という。以下の問いに答えよ。
(1) 
とする。
が素数となるような整数nをすべて求めよ。 (2) a，bを整数の定数とし、
とする。
が素数となるような整数nの個数は3個以下であることを示せ。
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解答 
が因数分解できてしまいますが、2つの数の積が素数になるとき、その2数は、1と素数、あるいは、
と素数の符号を変えたものになります。手がかりのない(2)は、(1)の10をa，20をbに置き換えるとどうなるだろう、というところから考えていきます。
(1) 
，
が素数であるのは、 (i) 
かつ
が素数(正の値)
(ii) 
かつ
が素数の符号を変えた数(負の値)、(iii) nが素数かつ
(iv) nが素数の符号を変えたものかつ
のいずれかの場合です。(i)より、
のとき
は素数です。11は正整数なので、(ii)は不適です。
の解は
であって整数ではないので(iii)は不適です。(iv)より、
の解は、
，これは素数の符号を変えたものです。
は素数です。
は素数です。
よって、
......[答]
(2) 
が素数となるのは、 (i) nが素数かつ
(ii) nが素数の符号を変えたものかつ
(iii) 
かつ
が素数 (iv) 
かつ
が素数の符号を変えたもの のいずれかの場合です。(i)のとき、
より、 
･･･①とします。2次方程式の解は2個しかないので、①を満たすnはα，β以外にはありません。 ・α，βのいずれか一方だけが素数、例えばαだけが素数で、βが素数でないときは、
は素数ですが、
，
は素数の可能性があり、
は素数ではなく、
が素数となるnは、
の高々3個です。 ・α，βがともに素数で、
，
がともに素数だとします。①において、解と係数の関係より、 
，
よって、
ここで、
なら
は素数の可能性があります。 α，βは素数で正整数なので、
で
は素数ではありません。よって、この場合、
が素数となるnは、
の高々3個です。
例えば、
，
のとき、 で、
が素数となるnは、
の3個あります。 (ii)のとき、
より、
とおき、 
･･･②とします。ここで、γ，δがともに素数で、
，
がともに素数だとします。②において、解と係数の関係より、
，
よって、
なら
は素数の可能性があります。
なので
は素数ではありません。よって、この場合、
が素数となるnは、
の高々3個です。
例えば、
，
のとき、で、
が素数となるnは、
の3個あります。
また、(i)を満たすnが2通りあり、(ii)を満たすnが2通りあり、合わせて4通りのnが存在するかも知れません。n，mが素数だとして、
･･･③ かつ 
･･･④ 満たすa，bが存在すると仮定すると、③－④より、 n，mがともに素数の場合、
，
は整数であり、
より、これは不合理で、③かつ④を満たすa，bは存在しません。つまり、(i)を満たすnが2通り、(ii)を満たすnが2通り、ということは起こりません。(iii)のとき、
が素数であったとしても、
が素数となるnは、
のみで、
は素数ではなく(i)も(ii)も成立せず、
が素数となるような整数nの個数は3個以下です。(iv)のときも、
が素数であったとしても、
が素数となるnは、
のみで、
は素数ではなく(i)も(ii)も成立せず、
が素数となるような整数nの個数は3個以下です。
以上より、
が素数となるnは3個以下です。
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