東大理系数学'26年前期[2]
nを正の整数とする。座標平面上の個の点がなす集合
から相異なる3点を選ぶ。ただし、どの3点も等確率で選ばれるものとする。選んだ3点が三角形の3頂点となる確率をとする。
(1) を求めよ。

(2) mを2以上の整数とする。を求めよ。


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解答　以下では、文字mが二重使用になってしまいました。(2)の問題文のmをsとして解答し、最後にsをmに戻しています。

座標平面上の相異なる3点が三角形の3頂点となるのは、3点が一直線上に並ばないときです。本問では、余事象、選ばれた3点，，が一直線上に並ぶ方を考えます。

選ばれた相異なる3点が一直線上に並ぶのは、
(i) 3点のx座標，，が一致するとき、つまり、整数jをとして、となるとき。
(ii) 3点のy座標，，が一致するとき、つまり、整数kをとして、となるとき。
(iii) 3点が傾きm (mは、0でない整数で、3点とも，を満たす。の場合は(ii))の直線上にあるとき。
です。

(1) のとき、
(i)では(右図黒線上の点)、jの選び方がの3通り、整数yの選び方が、1から5までの整数の中から3個を選ぶ(組み合わせを参照)ので、通り。
の選び方は、通りあります。
(ii)では(右図緑線上の点)、，，は、，，の1通り。kの選び方が1から5までの5通り。の選び方は、5通りあります。
(iii)では、傾きmは、直線が，，を通るときの (右図赤線)，直線が，，を通るときの (右図青線)，直線が，，を通るときの (右図橙色線)，直線が，，を通るときの (右図水色線)の4通りの場合があります。
のとき、直線が、を通る場合、を通る場合、を通る場合の3通りあります。
のときも同様に3通り。
のとき、1通り。
のときも1通り。
合わせて、通り。
(i)，(ii)，(iii)合わせて、通りあります。
一方、個の点から3点を選ぶ選び方は、通りあります。余事象の方を考えていたので、
.......[答]

(2) 文字mを二重に使うことになるため、問題文のmをsと書き、最後にsをmに戻します。sを2以上の整数として、を求めるので、のときを考えます。このとき、(1)ののときと同様に考えて、
(i)では、jの選び方がの3通り、整数yの選び方が、1からまでの整数の中から3個を選ぶので、
通り
の選び方は、通りあります。
(ii)では、，，は、，，の1通り。kの選び方が1からまでの通り。の選び方は、通りあります。
(iii)では、傾きmは、直線が，，を通るとき最大で、このときです。傾きmが最小になるのは、直線が，，を通るときで、このときです。の場合は(ii)の場合です。
かつのすべての整数値mについて、3点が、傾きmの直線上に並ぶときに三角形はできません。三角形ができないような3頂点は、の場合、例えば，， (です)です。の場合、例えば，，です。
個の点は、直線に関して対称に位置するので、mがある自然数となったときの3頂点の選び方の数とmがその自然数にマイナスをつけた負整数であるときの3頂点の選び方の数は同じです。よって、の場合のみを考え、あとで2倍します。
上記のように、3点が傾きm ()の直線上に並ぶとき、直線がを通るときには、直線はも通ります。である必要がありますが、を満たす整数t は、個存在します。つまり、3点が直線上に並ぶ傾きmの直線は、を通るもの、を通るもの、･･･、を通るものの本存在します。

注．分かりにくいので、，の場合で説明すると、傾きの直線は、とを通るもの、とを通るもの、とを通るもの、とを通るものの、本存在します。
傾きの直線は、とを通るもの、とを通るものの、本存在します。

，つまり、を満たす正整数mは、です。
三角形の3頂点とならない3点の選び方は、
通り(Σの公式を参照)

(i)，(ii)，(iii)を合わせて、三角形の3頂点とならない3点の選び方は、

通り
一方、個の点から3個を選ぶ選び方は、
通り
求める確率は、
として、
......[答]



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なお、解答は、
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