東大理系数学'26年前期[4]

東大理系数学'26年前期[4]

kを実数とし、座標平面上の曲線Cを

で定める。C上の2点P，Qに対する以下の条件(＊)を考える。

条件(＊)　原点O，点P，点Qは相異なり、CのO，P，Qにおける接線のうち、どの2本も交わり、そのなす角はすべて

となる。

ただし、2直線のなす角は0以上

以下の範囲で考えるものとする。

(1) 条件(＊)を満たすP，Qが存在するようなkの範囲を求めよ。

(2) kが(1)で定まる範囲にあるとする。P，Qが条件(＊)を満たすように動くとき、CのO，P，Qにおける接線によって囲まれる三角形の面積Sの最大値をM，最小値をmとおく。ただし、3本の接線が1点で交わるときは

とする。

となるkの値を求めよ。

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

解答　(2)の問題文に惑わされないように注意しましょう。Sの最大値、最小値を求めよ、という問題と勘違いすると、あれっ、存在しない、ということになってしまいます。もう一つパラメータを入れて最大最小の問題にしてしまうと厳しすぎる、ということで妥協して解ける問題にしてくれたのでしょう。

C：

微分すると、

　･･･①
原点Oにおける接線の傾きは、①で

として、

①を見ていると、この原点Oにおける接線の傾き

が、Cの接線の傾きの最小値であり、原点O以外の点の接線の傾きは

よりも大きな値だと分かります。つまり、O，P，Qは相異なるので、Pにおける接線、Qにおける接線の傾きは

よりも大きな値です。　･･･②
原点Oにおける接線とx軸とのなす角を、x軸正方向から反時計回りにθだとすると、

です。

(1) Pにおける接線と、原点Oにおける接線lとのなす角が

のとき、Pにおける接線の傾きは、

　(正接の加法定理を参照)

②より、

なので、

分子は正なので、分母も正で、

∴

　･･･③
点Pは接線の傾き

が

となる位置で、そのx座標は、

より、

　･･･④

③が満たされていれば、④を満たす

以外のxが存在します。

Qにおける接線と、原点Oにおける接線lとのなす角が

のとき、Qにおける接線の傾きは、

②より、

なので、

分子は正なので、分母も正で、

　∴

　･･･⑤
点Qは接線の傾き

が

となる位置で、そのx座標は、

より、

　･･･⑥

⑤が満たされていれば、⑥を満たす

以外のxが存在します。また、

より、④と⑥は異なり、PとQも異なる点です。
条件(＊)を満たすP，Qが存在するようなkの範囲は、③かつ⑤より、

......[答]

(2) 条件(＊)を満たすようにO，P，Qにおける接線を引くと、3本の接線で囲まれる三角形は、3つの内角がいずれも

で、正三角形です。正三角形の1辺の長さをdとすると正三角形の高さは

で、正三角形の面積Sは、

のとき正三角形の面積が最大値Mになるとすると、

のとき正三角形の面積が最小値mになるとすると、

のとき、

　∴

　･･･⑦
つまり、面積を考えるのではなく、1辺の長さで⑦を考えればよいわけです。

1辺の長さを調べるために、接線同士の交点を調べます。

原点Oにおける接線は、傾きが

なので、

　･･･⑧
点Pにおける接線ですが、④を満たすxは2通りあります。正の方をαとすると、－αも④を満たします。このとき、

　･･･⑨

つまり、C上の点Pが、

にあっても、

にあっても、点Pにおける接線は、傾きが

であり、⑧とのなす角が

になります。
点

における接線は、

　･･･⑩

点

における接線は、

　･･･⑪

点Qにおける接線についても、⑥を満たすxは2通りあり、正の方をβとすると、－βも⑥を満たします。このとき、

　･･･⑫

C上の点Qが

にあっても、

にあっても、点Qにおける接線は、傾きが

であり、⑧とのなす角は

(

)です。
点

における接線は、

　･･･⑬

点

における接線は、

　･･･⑭

接線同士の交点間距離を求めて、正三角形の一辺の長さを調べればよいのですが、正三角形の3辺の長さは等しいので、1つの接線(⑧を選びます)と他の2本の接線との交点の交点間距離を調べれば十分です。
さらに、3次曲線C：

は、原点に関して線対称であり、⑩と⑪，⑬と⑭も原点に関して線対称であり、原点Oにおける接線⑧も原点に関して線対称なので、「⑧，⑩の交点と、⑧，⑬の交点との距離」は、「⑧，⑪の交点と、⑧，⑭の交点との距離」と等しくなります。同様に、「⑧，⑩の交点と、⑧，⑭の交点との距離」は、「⑧，⑪の交点と、⑧，⑬の交点との距離」と等しくなります。つまり点Pにおける接線が⑩と⑪の2通り、点Qにおける接線が⑬，⑭の2通りで、接線⑧との組み合わせ方が4通りあるのですが、⑧との交点を考えるとき、⑩の交点と⑬との交点、⑪の交点と⑬の交点を調べれば十分です。

⑧と⑩を連立すると、