早大教育数学'10年[3]
座標平面上で、
，
，
を、それぞれ、中心が
，
，
，半径が2，1，1である円周とする。点Pは点
を出発点とし、円周
上を反時計回りに等速で
秒で一周する。点Qは点
を出発点とし、まず円周
上を反時計回りに等速でa秒で一周し、続いて円周
上を時計回りに等速でa秒で一周する。
点P，Qが同時に出発するとき、線分PQの長さの最大値と最小値を求めよ。ただし、aは正の定数である。
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解答 三角関数を含む関数の最大最小の問題です。数学Ⅱの範囲内で解決します。
以下では、回転角は各円の中心からx軸方向に進んだ点より出発して反時計回りに測ることにします。円の中心が
，半径がr，回転角がθ であれば、動点の座標は
となります。
また、時刻
秒でP，Qは初期位置に戻ってくるので、時刻
で考えれば十分です。
時刻
において、点Pは
秒で角
回るので、時刻t での回転角は
です。円周
上を回る点Pの座標は
(三角関数を参照)
時刻
において、点Qはa秒で角π回るので、時刻t での回転角は
です。円周
上を回るので、点Qの座標は
時刻
において、点Qはa秒で角π回り、時計回りに、円の中心からx軸負方向に進んだ点より出発するので、時刻tでの回転角は
です。円周
上を回る点Qの座標は
以上を見ると、回転角に
がよく出てくるので、これをθ とおくことにします。つまり、
このとき、
における点Pの座標は
における点Qの座標は
における点Qの座標は、
，
(i) 
のとき、 
において、
は、
のとき最小値
，
のとき最大値36 ･･･①(ii) 
のとき、 
(
とおきます)
は、
のとき最小値
，
(
より、
，つまり、
)のとき最大値49
よって、PQの長さの最大値7 (
のとき)，最小値
(
のとき) ......[答]
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(
のとき
，
のとき
)
とおくと、
より
とおくと、
より
は、
のとき最小値
のとき最大値