早大理工数学'10年[1]
xy平面上の2点A
，B
を通り、直線
と共有点をもつ円を考える。以下の問いに答えよ。
(1) この円の中心Pの軌跡を求めよ。
(2) この円の半径rの最小値を求めよ。
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解答 出てくる数値が大きいのですが、慌てないように注意しましょう。
(1) 2点A，Bを通る円Cの中心は、線分ABの垂直二等分線上にあります。
直線ABの傾きは
，線分ABの中点は
，つまり、
です。これより、線分ABの垂直二等分線は、傾きが
(2直線の平行・垂直を参照)で
を通る直線なので、 これより、Cの中心Pの座標を
(tは実数)とおくことができます。Cが直線
(即ち、
)と共有点を有するのは、Cの中心Pと直線
との距離が、円Cの半径
以下のときです(円と直線の位置関係を参照)。 
･･･①より、
⇔ 
整理すると、
∴ 
または 
･･･②tは円の中心Pのx座標なので、円の中心Pの軌跡は、直線
の
または
の部分 ......[答]
(2) ②のとき、①は、
であって、これをtの2次関数と見るとき、グラフの軸の位置
は②に含まれませんが、②の範囲のtでは端点
が最も近く、ここで半径rは最小値
......[答] をとります(2次関数の最大最小を参照)。
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