早大理工数学'10年[3]
a，bを実数とし、xy平面上の次の2つの関数のグラフについて考える。
･･･①
･･･②
(1) ①，②がただ1つの共有点をもつとき、bをaで表し、そのグラフをab平面上に図示せよ。
(2) (1)のグラフを
と表す。定数pに対して を最大にするaおよびその最大値を求めよ。
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解答 (2)は細かくて神経がすり減りますが、難問というわけではなく、丁寧に解答しましょう。
(1) ①：
のグラフは、
の
の部分のグラフと、これをy軸に関して対称移動させたグラフを、点P
においてつなぎ合わせたグラフです。 
は
(微分の公式を参照)より点Pにおける接線の傾きは1です。また、
のグラフをy軸に関して対称移動させたグラフの点Pにおける接線の傾きは
です。
は、
において、また、
において、下に凸、また
なので、直線②が
を通るとき、つまり、
のとき、直線の傾きaが、
，あるいは、
のときには、①と②は、
以外にも共有点をもってしまいます(微分法の方程式への応用2を参照)。従って、(i) ただ1つの共有点が
のとき、 
かつ 
(ii) ただ1つの共有点が
の部分に存在するとき、その共有点をQ
(
)として、直線②はQにおける①の接線になります。 
において①は
(
)になるので、接線の傾きaについて、∴ 
接線が点Qを通ることから、 
(
)これよりbは
において単調減少(関数の増減を参照)。
のとき
，
のとき
(iii) ただ1つの共有点が
の部分に存在するとき、
において①は
(
)であって、(ii)と同様に直線②は共有点Q
(
)における接線です。接線の傾きについて、 ∴ 
接線が点Qを通ることから、 ∴ 
より、
において
とすると
になるので、
(
)のグラフは、
(
)のグラフをb軸に関して対称移動させたグラフです。 
以上より、
のとき
，
のとき
，
のとき
，求めるグラフは右図実線。
(2) 
(i) 
において、 ・
のとき、
，
・
のとき、
この範囲において
は単調減少で、
(ii) 
において、
・
のとき
より、この範囲における最大値も1 (iii) 
において、 
とすると、
・
のとき、
この範囲において
は単調増加で、
・
のとき、
，
この範囲では最大値は
以上より、
・
のとき、
においての最大値
，
においての最大値
，
において
より、最大値は
最大値は
において
・
のとき、
において
，
においての最大値
，
においての最大値
より、最大値は
まとめると、
・
のとき、
において最大値1
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より、
とすると、
のとき
は単調増加で、この範囲では最大値は
のとき
は単調減少で、この範囲では最大値は
のとき、
において
，
において
，
において
のとき、
において最大値
のとき、
において最大値
......[答]
