早大理工数学'11年[1]
xy-平面上の放物線
をCとする。以下の問いに答えよ。
(1) C上の点
におけるCの法線の方程式を求めよ。 (2) 点
を通る法線の数を求めよ。 (3) 点
を通るCの法線の数が2となるためのt に対する条件を求めよ。
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解答 (3)では、結局、3次関数の極値を調べることになります。
(1) C：
......[答] ･･･①
(2) ①が点
を通るので、 ∴ 
aの3通りの値が3本の異なる法線を与えます。よって、点
を通る法線の数は、3 ......[答]
(3) ①が点
を通るので、 
とおくと、
法線の数が2となるために、
は極大、極小をもつ必要があり(3次関数の増減を参照)、2次方程式
は相異なる2実数解をもちます。よって、
が必要で、
のもとに、
は、2解
をもちます。
このとき、法線の数が2となるために、
のもとで極大値あるいは極小値が0となることが必要十分で、
より、
......[答]
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における接線の傾きは
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