早大理工数学'11年[4]
xy-平面上の原点をOとし、楕円
(
)をEとする。E上の点P
におけるEの法線とx軸との交点をQとする。点Pが
，
の範囲を動くとき、
が最大になる点Pを求めよ。
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解答 
は直線OPと法線のなす角なので、直線の傾きから正接の加法定理を考えることになります。
P
は楕円上の点なので、
よって、
･･･①
P
におけるEの接線は、
この傾きは
，よって、法線とx軸正方向とのなす角をαとして、法線の傾きは
です(2直線の平行・垂直を参照)。
直線OPとx軸正方向とのなす角をβ として、直線OPの傾きは
なので、法線とx軸との交点Qが
の部分にあることから、
よって、
(∵ ①)
は一定値ではないので、相加平均相乗平均の関係を
の形では使うことはできませんが、①の右辺
が一定であることに着目して、相加平均相乗平均の関係より、
(不等号の等号が成立するのは
，つまり、
のとき)
，
，
より、
∴ 
不等号の等号が成立するのは、
のときで、このとき、①より、
，
，
が最大となる点Pは、
......[答]
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