早大理工数学'12年[3]
表が出る確率がa (
)，裏が出る確率が
のコインを1枚投げる試行をn回行う。ただし
とする。このn回の試行の結果、表が2回以上出る事象を
で表す。また1回目からn回目の試行が終わるまでに、「裏→表」の順で出ない事象を
で表す。次の問いに答えよ。
(1) 確率
，
を求めよ。 (2) 確率
を求めよ。 (3) 極限
を求めよ。ただし、
をみたすrに対して、
となることを証明なしに用いてよい。
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解答 極限をとるあたりがややこしいのですが、等比数列の極限の基本に従って丁寧に解答しましょう。
(1) 事象
の余事象
は、n回の試行の結果、表が1回も出ない(裏ばかりn回、確率
)か、あるいは、表が1回だけ出てかつ裏が
回出る(確率
)事象です。その確率
は、 ∴ 
......[答]事象
は、表が1回も出ない、か、または、表が1回目からk回目(
)まで連続して出た後、裏が
回目からn回目まで連続して出る、か、または、表ばかりn回連続して出る事象で、その確率
は、 
......[答]
(2) 事象
は、事象
から、表が1回も出ない(確率
)事象と、1回目に表が出て2回目からn回目まで裏が連続して出る(確率
)事象を除いた事象で、 より、その確率
は、
(3) 
∴ 
......[答]
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......[答]
(
で分母・分子を割る)
，よって、
のとき、
