早大理工数学'22[3]

rを実数とする。次の条件によって定められる数列を考える。
()
()
()
ただし、xを超えない最大の整数とする。以下の問に答えよ。
(1) を求めよ。
(2) ()を示せ。
(3) を求めよ。

解答 ガウス記号の入っている二項間漸化式の問題です。あることに気づけないと難問です。試験会場で色々とあがいてみることが重要な問題です。

として、の最初の方を計算してみます。




となり、
12の間で収束しそうだ、ということはわかります。のときも、
となりほぼ同様です。
あとでこれが、強力なヒントになります。


(1)  ・・・@, ・・・A より
@−Aより、
これより、は、初項,公比の等比数列で、

のときより ∴ ......[]
 ・・・B, ・・・C より
B−Cより、
これより、は、初項,公比の等比数列で、
 ∴ ......[]

(2) ガウス記号について、という性質があります。書き換えると、,これより、 () ・・・D
よって、
これより@,Bのを用いて、より、
()
も含めて、 ()

(3) (2)の不等式を使ってはさみうちにしようとすると、(1)より、なので、が求められません。はさみうちにするためには、よりも厳しい条件を探す必要があるのですが、これが試行錯誤してもなかなか見つかりません。
そこで、上記でになりそうなところに目を付けます。実際には、(1)(2)より、です。1との差、2との差を調べてみると、Dより、
 ・・・E
 ・・・F
すべての自然数
nについて、またはであるとすると、なので、になり得ません。
従って、となる自然数が必ず存在します。であれば、なので、E,Fより、かつ,つまり、です。なので、数学的帰納法より、となるすべての自然数
nについて、です。
よって、となるすべての自然数
nについて、です。
このとき、 ・・・G
 ・・・H より、
G−Hより、
これより、は、初項,公比の等比数列で、
 ()
のとき、より、 ......[]



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