早大理工数学'22年[3]
rを実数とする。次の条件によって定められる数列
，
，
を考える。
ただし、
はxを超えない最大の整数とする。以下の問に答えよ。
(1) 
と
を求めよ。 (2) 
(
)を示せ。 (3) 
を求めよ。
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解答 ガウス記号が入っている二項間漸化式の問題です。あることに気づけないと難問です。試験会場で色々とあがいてみることが重要な問題です。
として、
の最初の方を計算してみます。
，
，
，
，
，
となり、
は
で1と2の間(もっと厳しく見積もることもできますが)で収束しそうだ、ということはわかります。
のときも、
，
，
，
，
となりほぼ同様です。
あとでこれが、強力なヒントになります。
①－②より、
これより、
は、初項
，公比
の等比数列で、
∴ 
のとき
より
∴ 
......[答]
･･･③，
･･･④ より
③－④より、
これより、
は、初項
，公比
の等比数列で、
∴ 
∴ 
......[答]
(2) ガウス記号
について、
という性質があります。書き換えると、
，これより、
(
) ･･･⑤ よって、
(
)
(3) (2)の不等式を使ってはさみうちにしようとすると、(1)より、
なので、
が求められません。はさみうちにするためには、
よりも厳しい条件を探す必要があるのですが、これが試行錯誤してもなかなか見つかりません。 そこで、上記で
になりそうなところに目を付けます。実際には、(1)と(2)より、
です。
と1との差、
と2との差を調べてみると、⑤より、
･･･⑥
･･･⑦
ある自然数
に対して、
を満たすすべての自然数nについて、
または
であるとすると、
か
か
が発散するかであって、
，
なので、
になり得ません。
従って、
となる自然数
(
)が必ず存在します。
ある自然数nについて、
であれば、
であり、⑥，⑦より、
かつ
，つまり、
です。
なので、数学的帰納法より、
となるすべての自然数nについて、
です。
よって、
となるすべての自然数nについて、
です。
このとき、
･･･⑧
･･･⑨ より、
⑧－⑨より、
これより、
は、初項
，公比
の等比数列で、
∴ 
(
)
のとき、
より、
......[答]
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，
(
)
，
(
)
，
(
)
･･･①，
･･･② より
，
を用いて、
，
より、
も含めて、
(
)