早大理工数学'22[4]

一辺の長さがである正八面体の頂点を右図のようにとする。各に対して、以外の5点を頂点とする四角錐(すい)のすべての面に内接する球(内部を含む)とする。の体積をXとし、の共通部分の体積をYとし、の共通部分の体積をZとする。さらに、,・・・,を合わせて得られる立体の体積を ()とする。以下の問に答えよ。ただし、(1)は答のみを解答用紙の該当欄に書け。
(1) となる整数abcの場合について求めよ。
(2) Xの値を求めよ。
(3) の値を求めよ。

解答 早稲田らしいオリジナリティー溢れる問題で、空間感覚も必要です。

は正四角錐に内接する球、は正四角錐に内接する球、は正四角錐に内接する球です。

は正方形で隔てられているので、には共通部分はありません。以外の
5点、以外の5点を、それぞれ5頂点とする四角錐に内接する球であって、は正八面体の対向する頂点です。同様にには共通部分はありません。

正八面体の対称性から、の位置関係、の位置関係、の位置関係、の位置関係は等しく、共通部分の体積は
Xです。また、以外の5点、以外の5点を、それぞれ5頂点とする四角錐に内接する球であって、は正八面体の1辺の両端となる隣接頂点です。

6個の頂点から2個の頂点を選ぶ選び方は、通りありますが、このうち対向する頂点の組が、3通りあり、3通りには共通部分がありません。隣接頂点の組み合わせは12通りあり、これらの組み合わせでは、共通部分の体積がXとなります。 ・・・@

また、正方形の中心、即ち、線分と線分の交点を
Oとすると、は正方形から側に位置し、は正方形から側に位置し、は正方形から側に位置し、正方形,正方形,正方形1Oを共有していて、の共通部分は三角錐(1Oと正八面体の1側面とでできる三角錐)の中にあり、この体積がZです。と同じ位置関係にあるのは、正八面体が8個の側面を持つので、他に、など、8通りあります。 ・・・A

6個の頂点から3個を選ぶ選び方は、通りありますが、上記の8通り以外、例えばのように、を含まない正五角錐、を含まない正五角錐、を含まない正五角錐に内接する球の組み合わせでは、が正八面体の側面でない△をなすため、が共通部分を持たず、3個の球でも共通部分を持ちません。

4個の球、例えばでは、が共通部分を持たないため、4個の球で共通部分を持ちません。ではが共通部分を持たず、ではが共通部分を持たず、4個の球では、共通部分ができません。5個の球、6個の球でも同様に、共通部分はできません。

上記の考察を論述するのが難しいため、
(1)では解答のみでよいことになっていますが、論述不要でも考察することは必要です。

(1) の場合、を合わせて得られる立体の体積は、2個の球の体積の和から、共通部分の体積を引いて、 ・・・B
の場合、を合わせて得られる立体の体積は、3個の球の体積の和から、の共通部分、共通部分、の共通部分の体積を引き、引きすぎたの共通部分の体積を加え直して、 ・・・C
の場合、
4個以上の球には共通部分がないので、,・・・,を合わせて得られる立体の体積は、6個の球の体積の和から、@より12通りの2個の球の共通部分体積を引き、Aより8通りの3個の球の共通部分体積を加え直して、 ・・・D
Bより、のとき、
......[]
Cより、のとき、 ......[]
Dより、のとき、 ......[]

以後、正八面体の1辺の長さが、三平方の定理を使うのにも煩雑なので、とおきます。

(2) 例えばの場合、その中心をとすると、上の点で、右図のように、の中点をそれぞれMNとし、と球との接点をLとすると、より、△∽△ ∴ MO ・・・E
より、球の半径をとして、Eより、r
よって、
より、 ・・・F
の体積
Xは、 ......[]

(3) の中心上にあって、は正方形と垂直なので、,また、より、△は直角二等辺三角形で、Fより、の中点をDとして、,よって、の共通部分の体積Yは、の体積Xのうち、点Dを通りに垂直な面からと逆側の部分の体積の2倍です。の半径はなので、x軸にとり、点として点Dとなり、積分を行うと、
Bを用いて、
......[]



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