早大理工数学'22年[4]
一辺の長さが
である正八面体の頂点を右図のように
，
，
，
，
，
とする。各
に対して、
以外の5点を頂点とする四角錐(すい)のすべての面に内接する球(内部を含む)を
とする。
の体積をXとし、
と
の共通部分の体積をYとし、
，
，
の共通部分の体積をZとする。さらに、
，
，･･･，
を合わせて得られる立体の体積を
(
)とする。以下の問に答えよ。ただし、(1)は答のみを解答用紙の該当欄に書け。
(1) 
となる整数a，b，cを
の場合について求めよ。 (2) Xの値を求めよ。
(3) 
の値を求めよ。
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解答 早稲田らしいオリジナリティー溢れる問題で、空間感覚も必要です。
は正四角錐
に内接する球、
は正四角錐
に内接する球、
は正四角錐
に内接する球です。
と
は正方形
で隔てられているので、
と
には共通部分はありません。
は
以外の5点、
は
以外の5点を、それぞれ5頂点とする四角錐に内接する球であって、
と
は正八面体の対向する頂点です。同様に
と
，
と
には共通部分はありません。
正八面体の対称性から、
と
の位置関係、
と
の位置関係、
と
の位置関係、
と
の位置関係は等しく、その共通部分の体積はYです。また、
は
以外の5点、
は
以外の5点を、それぞれ5頂点とする四角錐に内接する球であって、
と
は正八面体の1辺の両端となる隣接頂点です。
6個の頂点から2個の頂点を選ぶ選び方は、
通り(組み合わせを参照)ありますが、このうち対向する頂点の組が、
と
，
と
，
と
の3通りあり、
と
，
と
，
と
の3通りには共通部分がありません。隣接頂点の組み合わせは残りの12通りで、これらの組み合わせでは、共通部分の体積がYとなります。 ･･･①
また、正方形
の中心、即ち、線分
と線分
の交点をOとすると、
は正方形
から
側に位置し、
は正方形
から
側に位置し、
は正方形
から
側に位置し、正方形
，正方形
，正方形
は1点Oを共有していて、
，
，
の共通部分は三角錐
(1点Oと正八面体の1側面とでできる三角錐)の中にあり、この体積がZです。
，
，
と同じ位置関係にあるのは、正八面体が8個の側面を持つので、他に、
，
，
など、8通りあります。 ･･･②
6個の頂点から3個を選ぶ選び方は、
通りありますが、上記の8通り以外、例えば
，
，
のように、
を含まない正五角錐、
を含まない正五角錐、
を含まない正五角錐に内接する球の組み合わせでは、
，
，
が正八面体の側面でない△
をなし、
と
が対向する頂点なので、
と
が共通部分を持たず、3個の球
，
，
でも共通部分を持ちません。
4個の球、例えば
，
，
，
では、
と
が共通部分を持たないため、4個の球で共通部分を持ちません。
，
，
，
では
と
が共通部分を持たず、
，
，
，
では
と
が共通部分を持ちません。このように、共通部分を持たない2個の球の組ができてしまうので、4個の球では、共通部分ができません。5個の球、6個の球でも同様に、共通部分はできません。
上記の考察を論述するのが難しいため、(1)では解答のみでよいことになっていますが、論述不要でも考察することは必要です。
(1) 
の場合、
と
を合わせて得られる立体の体積
は、
，
の2個の球の体積の和
から、共通部分の体積Yを引いて、
･･･③ 
の場合、
と
と
を合わせて得られる立体の体積
は、
，
，
の3個の球の体積の和
から、
と
の共通部分、
と
共通部分、
と
の共通部分の体積の和
を引き、引きすぎた
と
と
の共通部分の体積Zを加え直して(こうした考え方は、集合の要素の数の考え方と同様です)、
･･･④
の場合、4個以上の球には共通部分がないので、
，
，･･･，
を合わせて得られる立体の体積
は、6個の球の体積の和から、①より12通りの2個の球の共通部分体積を引き、②より8通りの3個の球の共通部分体積を加え直して、
･･･⑤
③より、
のとき、
，
，
......[答]④より、
のとき、
，
，
......[答]⑤より、
のとき、
，
，
......[答]
以後、正八面体の1辺の長さが、三平方の定理を使うのにも煩雑なので、
とおきます。
(2) 例えば
の場合、その中心を
とすると、
は
上の点で、右図のように、
の中点をMとし、
と球
との接点をLとすると、
，
より、△
∽△
∴ 
：
＝MO：
･･･⑥よって、
，
より、
･･･⑧
の体積Xは、
......[答]
(3) 球
の中心
は
上にあって、
は正方形
と垂直なので、
，また、
より、△
は直角二等辺三角形で、⑧より、
，
の中点をDとして、
，よって、
，
の共通部分の体積Yは、
の体積Xのうち、点Dを通り
に垂直な面から
と逆側の部分の体積の2倍です。
の半径は
なので、
をx軸にとり、点
で
ととすると、点Dで
，球面
と
との交点で
となります。
から距離xのところで
に垂直な面で
，
の共通部分を切ったときの断面にできる円の半径は
，これより、
，
の共通部分の体積Yは、断面の円の面積をxで積分することにより、③を用いて、
......[答]
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，
，
･･･⑦
の半径を
として、
，⑥，⑦より、
＝
：
