上智大理工物理'08年[4]
図のように、x軸上の点
(
)に電荷
，
に電荷
の点電荷が固定されている。x軸上の別の点に質量m，電荷q (
)の粒子Pを置くことを考える。粒子はx軸上をなめらかに動くことができる。クーロンの法則の比例係数を
，無限遠での電位を0とする。
1．
(
)のとき、
の領域での電位は、
と
による電位の和で、
と表される。
に粒子Pをそっと置くと、Pはx軸正の方向に動きだし、無限遠でのPの速さは、
となる。 2．同じく、
(
)の場合を考える。
の領域での電位は、
と表される。
に粒子をそっと置くと、Pは
と
の間を往復する運動を始めた。このとき、原点
でのPの速さは、
となる。 また、
のところに粒子Pをそっと置くと、Pは原点を中心に単振動を行い、その周期は
となった。ただし、
のとき、次の近似式が成立することを利用せよ。 3．次に、
(
)，
として、
の領域で考える。すると、この領域での電位は、
と表される。粒子Pを
にそっと置くと、Pはx軸正の方向に動きだし、途中
において速さが最大となり、最終的に無限遠で
の速さになる。また、
に置いた場合には、粒子Pは無限遠まで遠ざかることはできない。 [ 1 ]，[ 4 ]，[ 8 ]の選択肢 a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
[ 2 ]，[ 5 ]，[ 6 ]，[ 10 ]の選択肢 a) 0 b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
[ 3 ]，[ 7 ]の選択肢 a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
[ 9 ]，[ 11 ]の選択肢 a) 1 b) 
c) 2 d) 3 e) 
f) 4 g) 
h) 
i) 
j) 
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解答 [6][7]の近似の指示がやや不親切で戸惑うかも知れません。必ずしも問題文のヒントを意識する必要はないのですが......。
[1] 電荷
による電位：
電荷
による電位：
(g) ......[答]
[2][3] 
における位置エネルギー： ∴ 
[2] (i) [3] (a) ......[答]
[4] 
による電位：
による電位：
(f) ......[答]
[5] 
での位置エネルギー： 
での位置エネルギー：
でのPの速さを
として、エネルギー保存より、
(g) ......[答]
[6][7] Pが位置xにいるとき、
から受ける力は、x軸負方向で、 Pが
から受ける力は、x軸正方向で、 Pが受ける力は、
∴ 
これは、角振動数
の単振動を表しています。周期Tは、 
[6] (j) [7] (g) ......[答]
[8] 
による電位：
による電位：
(j) ......[答]
[9] Pが位置xにあるときの速さを
とすると、このときと、Pが位置
にあるときとのエネルギー保存より、 
･･･①これを
とおくと、 
とすると、
より、
では
，
では
よって、
において
最大で(関数の増減を参照)、
最大となります。
において、速さ最大。 (i) ......[答]
[10] ①で
とすると、
無限遠での速さは、
(f) ......[答]
[11] 位置xにPを置いたときに無限遠まで遠ざかることはない、ということは、位置xにおける位置エネルギー
ということです。 [8]の結果より、
∴ 
(d) ......[答]
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