の理想気体とみなすことができる。大気の圧力は重力のため高度が低いほど高いが、ここではまず、その圧力の高度依存性を無視して気球の中心の高度での大気の圧力
で近似する。一方、密閉された球皮内には大気と同じ圧力
図1のように、断熱素材でできた球皮とゴンドラ等からなる気球が地面に置かれて浮上せず静止している。大気(空気)は温度の理想気体とみなすことができる。大気の圧力は重力のため高度が低いほど高いが、ここではまず、その圧力の高度依存性を無視して気球の中心の高度での大気の圧力で近似する。
が入っており、球皮内の気体の内部エネルギー
は、気体定数
を用いて、
と書くことができる。球皮は最初十分にしぼんだ状態であり、球皮内に装着されたヒーターにより、球皮内の気体の温度を上昇させ気体の体積を膨張させることができる。このとき、球皮内の気体の圧力と大気圧は常につり合っているとする。以下の文章の (1) から (10) に適切な数式を入れ、 (11) には有効数字2桁の数値を入れよ。
と書くことができる。いまヒーターによって熱量
をゆっくり気体に与えたところ、気体の温度と体積がそれぞれ
および
だけ変化した。この過程で球皮内の気体が外部にした仕事は (2) 
であり、その内部エネルギーの変化は (3) 
となる。したがって、熱力学第一法則より、Qは
および
を用いて
(4) 
と表せる。この式と状態方程式により、球皮内の気体の定圧モル比熱
(圧力一定の条件で
の気体を単位温度上昇させるのに必要な熱量)はRを用いて
(5) 
と書くことができる。
，球皮内の気体と空気のモル質量(
当たりの質量)をそれぞれ
および
とし、重力加速度の大きさを
とする。また、気球の質量は球皮内の気体とゴンドラの質量のみを考慮し、ほかはすべて無視せよ。気球の体積は球皮内の気体の体積のみを考慮し、ほかはすべて無視せよ。
である。一方、気球を図1の状態から温めて体積が
になったとすると、この体積
を占めていた空気のモル数は、Tとpを用いて (7) 
と表せる。重力のため大気の圧力は下方ほど高い。このことから浮力が生じる。浮力の大きさはアルキメデスの原理から正確に求められ、気球に働く浮力の大きさは (8) 
となる。以上より、気球を浮上させるにはその体積
を (9) 
より大きくする必要があり、気球に (10) 
より多い熱量を与えなければならない。
のヘリウムガス
を用いた気球の場合を考える。空気のモル質量は
である。大気の温度が
の場合に、
のゴンドラをつけた気球を浮上させるためには、ヘリウムガスの温度を (11) 
より高くする必要がある。
･･･①
......[答]
......[答]
......[答]
･･･②
......[答]
･･･③
･･･④
･･･⑤
......[答]
，ゴンドラの質量
と合わせて、
......[答]
を占める空気のモル数を
として、状態方程式：
......[答]
......[答]
(
とおきます)
......[答]
･･･⑥
......[答]
とすると、浮上を開始するまでの温度変化は、
......[答]
の2桁が最も少ないので、解答も有効数字2桁で答えます。
として、
変化するとき、気体が外部にした
で、状態方程式：
より、