名工大物理'09年[1]
粗い平板の上を転がることなくすべる小さな物体の運動に関する以下の問いに答えよ。ただし、重力加速度の大きさを
とする。物体の大きさは考えなくてよい。また、必要であれば以下の関係を用いよ。
「初項が
で公比r (
)の無限等比級数の和は
で表せる。」 
問1 次の文中の(ア)～(ウ)の空欄に適切な式を入れよ。
問2 図2に示すように粗い平板を水平から測った傾斜角が
となるよう固定した(
)。平板に沿ってx軸をとり、図中の矢の向きを正とする。質量が
の物体1を点Pに、質量が
の物体2を点Pからx軸の正の向きに
だけ離れた点
において静かに離した。物体2は静止したままであったが、物体1はその直後にすべり始め、物体2に衝突した。物体1と物体2の反発係数(はねかえり係数)はe (
)である。衝突は瞬時に起こるものとする。また、平板と物体1の動摩擦係数は
，平板と物体2の動摩擦係数は
である。
(2) 点
での衝突後、物体1は再度すべり始め、図3に示すように点
からx方向に
だけ離れた点
において物体2と再衝突した。この再衝突の直前に物体2の速度はちょうど0となった。このとき、
を
と
を用いて表せ。また、
を求めよ。(3) 点
での衝突直後の物体1，2の速度
，
を求めよ。 (4) 点
での衝突後、物体1は再度すべり始め、図3に示すように点
からx方向に
だけ離れた点
において物体2と再衝突した。この点
における衝突直後の物体2の速度
を求めよ。また、
を求めよ。 (5) このように、物体1，2は衝突を繰り返しながら斜面をすべり、やがて両物体とともに斜面上で静止した。物体1が点Pから静止するまでにすべった距離を求めよ。
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解答 難問というわけではありませんが、ボリューム満点の問題なので、急いで作業を進める必要があります。
問1 物体1が斜面に沿う方向に受ける力は、斜面に沿って下向きを正として、重力の斜面に沿う方向の成分が
，摩擦力が
，物体1の加速度を
として、この方向の運動方程式： 
･･･①物体2についても同様に、加速度を
として、斜面に沿う方向の運動方程式： 
･･･②
･･･③(ア) ①より、
......[答](イ) ②より、
......[答](ウ) ③より、
......[答]
問2(1) 問1のθをαに入れ替えることにより、物体1，物体2の加速度
，
は、 
･･･④
･･･⑤衝突直前の物体1の速度を
として、等加速度運動の公式より、 
･･･⑥
･･･⑦
･･･⑧⑦，⑧より、
......[答]⑥，④より、
......[答](2) 1回目の衝突から2回目の衝突までの時間を
として、物体2について等加速度運動の公式より、 ⑪を⑨に代入し、
⑩より、
∴ 
･･･⑫
④，⑤より、 
･･･⑬
∴ 
......[答]⑨，⑫，(1)の結果、⑥より、 
......[答](3) 2回目の衝突直前の物体1の速度は、⑩，⑫より、
2回目の衝突前後の運動量保存より、
･･･⑭反発係数の式：
･･･⑮⑭に代入して、
(1)の結果
を用いて、 
......[答]⑮より、
......[答](4) ここまでの速度の変化の具合を考えてみます。3回目の衝突直前の物体1の速度を
とします。
| 初め→1回目 | 1回目→2回目 | 2回目→3回目 |
| 物体1 |  |  |  |
| 物体2 | 0 |  |  |
| 距離 |  |  |  |
これを見ると、衝突ごとに、衝突直前の物体1の速度のe倍が衝突直後の物体2の速度になり、さらに、物体1の次の衝突直前の速度になることがわかります。これより、3回目の衝突直前の物体1の速度
と3回目の衝突直後の物体2の速度
は、
......[答]また、(2)と同様に、
......[答] (5) (4)の検討により、物体1が点Pから静止するまでにすべった距離は、初項
，公比
の無限等比級数となり、 
......[答](6) 物体1がすべった距離は(5)より
，物体2がすべった距離は
です。 最終的に静止する地点を基準として、物体1の最初の位置エネルギーは、すべった変位の鉛直成分を考えて、
，物体2の最初の位置エネルギーは、(1)の結果
より、
両物体が静止するまでに失った位置エネルギーの和は、 物体1が摩擦によって失ったエネルギーは、摩擦力のした仕事(負の値)のマイナスを取って、
，物体2が摩擦によって失ったエネルギーは、同様に、
(
)両物体が平板との摩擦により失った力学的エネルギーの和は、 ここで、④，⑤，⑫より、
よって、
･･･⑯
......[答]注．
は物体1と物体2の非弾性衝突の際に失われるエネルギーの総和を与えます。完全弾性衝突(
)の場合、⑯の分子だけ見ていると、
ですが、このときは、
であって、衝突は無限に繰り返されることになり、両物体とも斜面上で静止することは永久にありません(斜面が続いていれば)。 
(7) 物体1の速度を
とします。はじめから1回目の衝突までの間(
間、つまり、
)では、等加速度運動の公式より、 物体1の運動エネルギーは、
1回目の衝突から2回目の衝突までの間(
間、つまり、
)では、 2回目の衝突から3回目の衝突までの間(
間、つまり、
)では、 以上より、物体1の運動エネルギーについて、右図破線のグラフを描くことができます(3線分の傾きは
で等しく、3線分は平行です)。
物体2の速度を
とします。
間(
)では、等加速度運動の公式より、 
(∵ ⑫)物体2の運動エネルギーは、⑥より、
となるので、 xの1次関数なので、このグラフは線分です。
(
)においては、
(これは、物体1の
直前の運動エネルギーのe倍です)
(
)直前においては、(2)の結果より、
です。
間(
)では、 
(∵ ⑫)
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となるよう固定した(
)。この平板との動摩擦係数が
である物体1と動摩擦係数が
である物体2を用意し、それぞれ平板上に置いて静かに離した。その直後に両物体ともに平板に沿った方向にすべり始めた。このとき、物体1の加速度は
，物体2の加速度は
である。
まで加速するのに要する時間をそれぞれ
，
とするとき、
を
，
，
を用いて表すと
である。
での衝突直後に、物体1の速度は0となり、物体2は正の向きにすべりだした。このことから
を求めよ。また、衝突直後の物体2の速度
を求めよ。
とし、両物体が平板との摩擦により失った力学的エネルギーの和を
とする。
を求めよ。
(7) 解答用紙には物体1の運動エネルギー変化を点Pの位置を原点としたxの関数として、点
の位置まで破線で描いてある。同一グラフ上に物体2の運動エネルギーの変化の概略をxの関数として点
から点
の位置まで描け。
･･･⑨
･･･⑩
･･･⑪
(
)においては、
(これは、物体1の
直前の運動エネルギーのe倍です)
(
)直前においては、
です。
で等しく、2線分は平行です)。