名大物理'10年[1]

名大物理'10年[1]

図1のように、水平な床の上に質量

の水平な台を置き、大きさが無視できる2つの小物体A，Bの台の上面での運動を考える。紙面に垂直な方向の運動は考えない。小物体A，Bの質量はともにmとする。台の上面のうちPQ間はなめらかであり、この区間では台と小物体A，Bとの間の摩擦は無視できる。QR間には摩擦があり、小物体A，Bと台の上面QR間との間の静止摩擦係数はμ，動摩擦係数は

である。また、小物体Aと小物体Bの衝突における反発係数(はねかえり係数)eは

を満たす。重力加速度をgとして、以下の問いに答えよ。

はじめに、台を床に固定具で固定し、小物体Bを台上から取り除く。台上での小物体Aの運動を考える。図2のように、小物体Aを台の上面のP点から初速度

で右向きに滑らせたところ、小物体AはQ点から距離

だけ離れた台上の点で静止した。

設問(1)：運動をはじめてから静止するまでの小物体Aの運動を考える。(a)小物体Aの速度の時間変化、(b)運動エネルギーの時間変化、(c)P点から小物体Aまでの距離の時間変化を示すグラフとして適切なものを次のア～クからそれぞれ一つずつ選べ。ただし、グラフの横軸は小物体Aが運動を開始してからの時間を表し、縦軸は速度、運動エネルギー、または距離を表すものとする。

設問(2)：距離

を、m，μ，

，e，g，

の中から適切なものを用いて表せ。

次に、台を床に固定具で固定したまま、小物体Bを台上のQ点に静かに置く。図3のように台の上面のP点から、初速度

で小物体Aを右向きに滑らせると、小物体Aと小物体Bは衝突を起こし、衝突後、Q点からそれぞれ右に距離

，

だけ離れた台上の点に静止した。

設問(3)：衝突直後の小物体Aと小物体Bの運動エネルギーを、m，μ，

，e，g，

の中から適切なものを用いてそれぞれ表せ。

設問(4)：距離

と距離

との差

を、m，μ，

，e，g，

の中から適切なものを用いて表せ。

次に、台を床に固定する固定具を取り外し、台が床の上を自由に滑ることができるようにする。床と台との間の摩擦は無視できる。静止した台の上のQ点に小物体Bを静かに置く。図4のように、台上のP点から初速度

で小物体Aを右向きに滑らせると、小物体Aと小物体Bは衝突した。衝突直後の台の速度は0であった。小物体Aは、小物体Bとの衝突後、QR間の点で台との間の相対速度が0となり、以降は台と一体となって運動した。さらにその後、小物体Bは、QR間の点で台との間の相対速度が0となり、以降は台と一体となって右向きに速度

で運動した。

設問(5)：速度

を、m，μ，

，e，g，

の中から適切なものを用いて表せ。

設問(6)：小物体Aと台との間の相対速度が0となってから、小物体Bと台との間の相対速度が0となるまでの間の台の運動を考える。小物体Aと小物体Bが台に及ぼす力をすべて解答欄の図中に矢印で示し、それらの力の大きさを解答欄の図中に数式で記せ。解答に際しては、力の向きに留意して矢印を図示せよ。数式は、m，μ，

，e，g，

の中から適切なものを用いて表せ。

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解答　衝突に関する標準問題です。設問(6)はいわゆる「親亀子亀」の問題です。

(1) 小物体Aは、PQ間においては、速さ

で等速度運動をします。運動を始めたとき時刻

とし、Qを通過する時刻を

として、時刻t (

)におけるAの速度

は、

Qを過ぎると、動摩擦力

を受けるので、加速度をaとして、運動方程式は、

∴

よって、小物体AはQを過ぎると等加速度運動をするようになります。静止する時刻を

として、時刻t (

)におけるAの速度

は、

よって、時刻tにおける

は、

(a)小物体Aの速度の時間変化を表すグラフは、ア ......[答]
時刻tにおける小物体Aの運動エネルギー

は、

(b)運動エネルギーの時間変化を表すグラフは、エ ......[答]
時刻tにおける、P点から小物体Aまでの距離

は、

(c)P点から小物体Aまでの距離の時間変化を示すグラフは、カ ......[答]
注意．上記では、計算によって示していますが、(a)では、途中まで等速度運動、そこから加速度一定で直線的に速度が減少してやがて速度0になるグラフ、(b)では、途中まで運動エネルギー一定で、それ以降は、時間tの2次関数となり、下に凸なグラフ、(c)では、途中まで傾き正の直線、それ以降は上に凸な放物線、という感覚で選べばよいでしょう。

(2) 小物体AがQを通過するときにもっていた運動エネルギーは