新潟大物理'10年[4]
[1] 図のような、シリンダーとピストンからなる装置がある。シリンダー内に閉じ込めた気体には熱を与えることができる。ある気体をこのシリンダー内に閉じ込めて、この気体の性質を調べる。ここで、閉じ込めた気体は単原子分子気体ではなく、その物質量も不明である。この気体は理想気体の状態方程式に従い、また、気体の内部エネルギー
は気体の温度
に対して という比例関係を満たすことがわかっている。Cは比例定数である。以下の問いに答えよ。
まず、ピストンを固定した状態で気体に熱を与える。熱を与える前の温度が
であり、気体に
の熱量を与えたあと、気体の温度は
に上昇した。
問1 比例定数Cの値を有効数字2桁で求めよ。
次に、気体の圧力を一定値
に保ちながらピストンがなめらかに動くようにする。気体の温度を
にすると、体積は
となった。この状態の気体に熱量
を与えると、気体は膨張し温度は
になった。
問2 このときの気体の温度変化
が となることを導け。
問3 この気体の定圧モル比熱
と定積モル比熱
の比
の値を有効数字2桁で求めよ。なお、計算の過程も示せ。
[2] 図1のように、上端がふさがり下端は開いている円筒型の容器を密度
，温度
の液体に浸し、質量と体積が無視できる糸でつり下げて重量を測定したところ、重量計は
を指した。次に、図2のように、この容器に物質量
，温度
の理想気体を入れてつり下げ、重量計が
を指す位置に容器を静止させた。このときの、液体表面から容器内の液体と気体の境界面までの深さを
，境界面から容器上面までの長さを
，容器内の気体の圧力を
とする。また、円筒容器の断面積は
であり、気体定数を
，重力加速度を
とする。ただし、円筒容器は傾くことはなく、気体と液体および容器はつねに熱平衡を保ち、それらの温度は等しい。また、気体の質量は無視できるものとし、液体と容器は温度によって膨張収縮することはなく、液体表面に加わる大気圧も変化しないものとする。
問1 以下の問いに、
，M，n，R，T，S，gのうち必要なものを用いて答えよ。 (1) lを求めよ。
(2) pを求めよ。
問2 温度をTから
に上昇させ(
)，この場合に重量計が
を指すように円筒容器の位置を変化させた。このとき、境界面の深さは
，容器内の気体の圧力は
であった。以下の問いに、
，M，n，R，T，S，gのうち必要なものを用いて答えよ。 (1) 
と
の関係を求めよ。
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解答 浮力を考える[2]は、温度を変化させたときに容器内の気体の高さ
が変化しないことに気づかないとヒドイ目にあいます。
[1] ピストンを固定しているので、熱を与える前後での気体の変化は定積変化です。
問2 今度は、気体の変化は定圧変化です。気体のモル数を
，変化後の気体の体積を
とします。 ①より、
，これを代入して、 内部エネルギーの変化は、問題文中の
より、
熱力学第1法則より、
∴ 
問3 定積モル比熱
とCの間には、
という関係があります(モル比熱を参照)。 定圧モル比熱の式
と問2の結果を用いて、 これより、
......[答]
[2] 図1において、重量計が
を指していた、ということは、円筒容器に働く重力が
だということです。 図2の円筒容器内の境界面の高さでの液体の圧力は、容器内の気体の圧力
に等しくなります。容器外でのこの高さの液体断面の面積を
とすると、この断面を上向きに押す力は
，下向きに押す力は、この断面上部の液体(体積
)に働く重力を考えて
です。両者の力のつり合いより、 ∴ 
･･･③
なお、[2]では問1、問2とも、h，lが最終解答に使えないことに注意してください。 問1(1) 図2では、重量計が
を指していますが、円筒容器に働く上向きの張力
が、下向きの重力
以外に働きます。 円筒容器内の気体の体積は
です。円筒容器に上向きに働く浮力
と、容器に働く張力と重力の差とを考えて、力のつり合いは、 
･･･④∴ 
......[答] (2) 図2の円筒容器内の気体の状態方程式：
･･･⑤ (1)の結果を代入して、
∴ 
......[答]
問2 温度が
になったときも、重量計の指す値は
のまま変わらないので、円筒容器に働く力のつり合いは問1④と変化せず、円筒容器に働く浮力は
のままで、容器内の境界面から容器上面までの長さ
も変化しません。 (1) 温度が
になったときの円筒容器内の気体の状態方程式： 
･･･⑥⑥－⑤より、
問1(1)の結果を代入して、
∴ 
......[答] (2) ③と同様にして、円筒容器内の気体の圧力が
になったときに、境界面の深さが
になったとして、 
･･･⑦⑦－③より、
問2(1)の結果より、
∴ 
......[答]
のときは
ですが、境界面から円筒容器上面までの長さが変化しないので、温度
のときの円筒容器の位置は温度Tのときよりも下 ......[答] です。
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と
の関係を求めよ。また、温度が
のときに重量計が
を指す容器の位置は、温度Tのときよりも上か下かを答えよ。
より、
，
......[答]
として、
･･･①
･･･②