東京医科歯科大物理'10年[1]
地表面上で静止した半径Rの球面の内側に沿って、図1のように質量mの物体が等速円運動している。球の中心点Oから垂らした鉛直線と球面との交点をA，軌道上の一点をBとすると、角AOBの大きさはθ (
)であった。ただし、物体の大きさおよび物体と球面との摩擦は無視できるものとし、重力加速度をgと表記する。
以下の各問いに答えよ。
問1 物体が球面から受ける垂直抗力の大きさ
を求めよ。 問2 等速円運動の周期Tを求めよ。また、Tをθ の関数とみなし、その概形を解答用紙中のグラフに図示せよ。
つぎに物体を点Bに静止させ、そっと手を離した。すると物体は点Aを通る振動を始めた。
問3 手を離した瞬間に、物体が球面から受ける垂直抗力の大きさ
を求めよ。 問4 点Aにおける物体の速さvおよび物体が球面から受ける垂直抗力の大きさ
を求めよ。
つぎに、図2のように、点Oを通る水平面で球を切断し上半分を除いて半球とし、これを
の方向に加速度
にて等加速度運動させる。ただし点Cは点Bから線分OAにおろした垂線の足である。半球とともに運動する観測者が物体を点Bに静止させ、そっと手を離した後の運動に関して、次の問いに答えよ。
問5 物体は球面から離れたり半球の外に飛び出すことなく、点Aを通る振動を始めた。θ の満たす条件を求めよ。
問6 手を離した瞬間に、物体が球面から受ける垂直抗力の大きさ
を求めよ。 問7 半球とともに運動する観測者から見た、物体の速さの最大値Vを求めよ。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 重力を考慮する必要のある鉛直面内の円運動は、不等速円運動になりますが、ここにさらに慣性力が加わるとどうなるか、という問題です。問5の聞き方が漠然としていて何をすればよいか悩みますが、別解のように最初から見かけの重力を考えれば一本道です。
問1 物体は鉛直方向には動きません。鉛直方向に物体に働く力は、下向きの重力
，垂直抗力の鉛直方向成分
(上向き)です。鉛直方向の力のつり合いより、 ∴ 
......[答] 
問2 水平面において、物体は、半径
の円周上を等速円運動します。向心力は垂直抗力の水平方向成分
です。物体の速さをvとして、運動方程式は、∴ 
長さ
の円周を速さvで回るので、等速円運動の周期Tは、 
......[答]
問3 物体は球面に沿って運動を始めるので、球面に垂直な方向(法線方向)では、力のつり合いが成立します。法線方向に物体に働く力は、中心に向かう方向の垂直抗力
，重力の法線方向成分
(中心から外向き)です。∴ 
......[答] 
問4 A点を基準としてB点における物体の位置エネルギーは
， A点での運動エネルギーは
，力学的エネルギー保存より、∴ 
......[答] ･･･①
物体が点Aに来たときに物体に働く力は、鉛直上向きの垂直抗力
と鉛直下向きの重力
です。点Aにおける運動方程式は、 ①より、
......[答]
問5 まず、半球とともに移動する観測者から見て、手を離した時に物体に働く力は、垂直抗力と重力と慣性力ですが、いずれも、直線OBから点Aの位置する側の方に向く力です。従って、手を離した後に、物体はBからAの側に動き始めるので、半球の右端から外側に飛び出すことはありません。また、動き始めて以降、点Aに到達するまで、物体に働く力は、物体の位置と球の中心を結ぶ直線から点Aの位置する側の方に向くので、物体は、Aの方へ動き続けます。しかも、慣性力も重力もともに物体に正の仕事をなすので、物体の速さは次第に大きくなります。従って、物体は必ず点Aを通ります。
以上より、物体が振動するためには、物体が半球内面との接触を保ち、半球の左端から飛び出さなければよいことになります。
物体の位置と球の中心を結ぶ直線と直線OAとのなす角がφ (
)のとき、法線方向に物体に働く力は、垂直抗力N (中心を向く)，重力の法線方向成分
(中心から外を向く)，慣性力の法線方向成分
(中心を向く)で、物体の速さをvとして、円運動の運動方程式： 
･･･②Bから角φの位置まで物体が来るとき、点Bを基準として、重力の位置エネルギーは
，慣性力がする仕事は
力学的エネルギー保存より、 ∴ 
･･･③②に代入して、
･･･④
，つまり、
において、Nは
，つまり、
のときに最小です。
においても
であれば、物体は、BとAの間で半球との接触を保ちます。よって、④で
として、
(問6で見るように、このNはB点での垂直抗力です)∴ 
･･･⑤半球の左端を越えない条件は、
のときに
となることです。③より、 よって、
⑤も考慮して、
より、
∴ 
......[答] 別解．上記では、あまりに大変です。以下のように、「見かけの重力」に着目しましょう。
AからBと逆の側へ
回った点をDとします。鉛直下向きの重力
と
方向の慣性力
を合成すると、
から時計回りに
回転した方向(
方向)を向く大きさ
の「見かけの重力」になります。
この状況は、半球を反時計回りに
回転させ、Dが底になるように半球を置いて重力加速度を
にしたのと同じ状況です。
となる位置に物体を置くと、見かけの重力のために物体は半球の内面から離れてしまいます。
であれば、物体をどこに置いてもA側に動き始め、半球から飛び出すことはなく、必ずAを通ります。ODに関する対称性から、半球の左端から物体が飛び出さないために
，これより、
となります。 問6 ④において
とすることにより、手を離した瞬間に、物体が球面から受ける垂直抗力の大きさ
は、 
......[答] (
に注意)問7 物体の運動エネルギーは、③より、φが
の範囲を動くとき、
，つまり、
のときに最大となり、そのとき
として、 
......[答]
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
物理TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
