阪大物理'13年[1]
ばねと板からなり質量の無視できる緩衝器が壁に取り付けられている。物体が水平な床の上を緩衝器に向かってすべっていき、緩衝器に接した後の物体の運動を考える。物体が緩衝器に接したとき緩衝器のばねの長さは自然長であった。また、物体が壁に最も近づいたとき、ばねにはさらに縮む余裕が残されていた。物体と床の間には、以下のⅠ，Ⅱでは摩擦がなく、Ⅲでは摩擦がある。ばね定数をk，重力加速度の大きさをgとして、以下の問いに答えよ。
Ⅰ．図1のように、なめらかな床の上を質量Mの物体Aが速さ
で緩衝器に向かってすべっていた。物体Aが緩衝器に接した後、ばねは縮んでいく。物体Aが緩衝器に接したときから壁に最も近づくまでの時間を
，壁に最も近づいたときにばねが自然長から縮んだ長さを
とする。問1 
をM，k，
のうちの必要なものを用いて表せ。 問2 
をM，k，
のうちの必要なものを用いて表せ。 問3 
を短くするにはどうすればよいか。以下のうちの正しいものの記号を全て記せ。 (a) 速さ
を大きくする。 (b) ばね定数kを大きくする。
(c) 質量Mを小さくする。
Ⅱ．図2のように、質量Mの物体Aの上に質量mの物体Bを載せた。物体Aと物体Bの間には摩擦があり、その静止摩擦係数をμとする。2つの物体は一体となり、なめらかな床の上を速さ
で緩衝器に向かって滑っていた。物体Aが緩衝器に接した後も、2つの物体は一体となって運動し、物体Bは物体Aに対して滑ることはなかった。物体Aが最初に緩衝器に接する位置をx軸の原点とし、物体の初速度の方向をx軸の正の向きとする。一体となって運動している物体の加速度をa，物体Bに働く摩擦力の大きさをFとする。問4 ばねがxだけ縮んでいるときの物体Aと物体Bの運動方程式を書け。
問5 ばねがxだけ縮んでいるときの物体Bに働く摩擦力の大きさFを、M，m，k，
，g，μ，xのうちの必要なものを用いて表せ。 問6 物体Bが物体Aに対して滑らないことから、静止摩擦係数μが満たす条件を、M，m，k，
，gのうちの必要なものを用いて表せ。
Ⅲ．図3のように、摩擦のある床の上を質量Mの物体Aが緩衝器に向かって滑っていた、緩衝器に接したとき、物体Aの速さは
であった。物体Aは緩衝器に接した後、壁に近づいていき、その後向きを変え、ばねの長さがちょうど自然長となる位置で静止した。床と物体Aには、動摩擦係数と静止摩擦係数が等しい材質を選んだ。ここで動摩擦係数を
とする。問7 物体Aの速さ
をM，
，k，gのうちの必要なものを用いて表せ。 問8 物体Aが壁に最も近づいた後、ばねによって押し戻される。押し戻されるときの物体Aの速さの最大値を
を用いて表せ。
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解答 ばね振り子の基本問題ですが、Ⅲは計算に工夫が必要です。
Ⅰ．問1 衝突前の力学的エネルギーは、物体Aの運動エネルギー
です。緩衝器のばねが最も縮んだときの力学的エネルギーは、弾性エネルギー
です。両者の力学的エネルギー保存より、 
∴ 
･･･①単振動の公式：
より、単振動の振幅は
なので①より、
は
周期に等しく、
......[答] 問2 ①より、
......[答] 問3 問1の結果より、
を短くするには、kを大きくするか、質量Mを小さくすればよいので、(b)，(c) ......[答]
Ⅱ．問4 物体Aと物体Bの加速度をaとします。物体Aに働く力は、右向きの静止摩擦力Fとばねの弾性力
(左向き)で、物体Aの運動方程式は、 
......[答] ･･･②物体Bに働く力は、左向きの静止摩擦力
で、物体Bの運動方程式は、 
......[答] ･･･③問5 ②＋③より、
∴ 
③に代入して、
......[答] 問6 物体Bが物体Aに対して滑らない条件は、
∴ 
左辺は、問2と同様にして、
のときに最大で、 問2の結果より、
......[答]
Ⅲ．問7 衝突前の力学的エネルギーは
，ばねが最も縮むとき(このときのばねの縮みを
とします)までの間に動摩擦力がした仕事は、
，ばねが最も縮んだときの力学的エネルギーはばねの弾性エネルギー
，この間についてエネルギーの原理より、 
･･･④その後向きを変えて自然長に戻るまでに動摩擦力がした仕事は
，自然長に戻ったとき、運動エネルギーも弾性エネルギーも0で、この間についてエネルギーの原理より、 
･･･⑤
より、
･･･⑥
④－⑤より、
⑥より、
......[答]問8 押し戻される途中で、ばねの縮みがxのときの物体Aの速さをvとして、弾性エネルギーが
，運動エネルギーが
，最も縮んでいたときからこのときまでに動摩擦力のした仕事は
，エネルギーの原理より、 
･･･⑦⑦－⑤より、
物体Aの速さが最大値
となるとき、運動エネルギーも最大となりますが、運動エネルギーの最大値は、 問7の結果を用いて、
......[答]
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