慶大理工物理'10年[2]
以下の文章中の
に適切な数式または数値を記入しなさい。ただし、解答に使える物理量は、
と
および、V，m，
，
，
だけとする。
(1) 小球が図1のように、運動するなめらかな平板と弾性衝突をして進行方向を変える。x，y軸を図1の方向にとり、小球はx-y平面内で運動するものとする。小球が平板に衝突する前後の速度は、静止した観測者から見てそれぞれ
，
であり、
，
とする。平板はx軸に垂直で十分に広く、その速度のx成分は一定値Vであり、y成分は0で、これらは小球との衝突により変化しないとする。ただし、Vは正負いずれの値もとるが、小球と平板が衝突するように
を満たす。図1のように小球の入射角をθ，反射角を
とすると、
および
の関係がある。なお、重力や小球の回転運動は考えなくてよい。平板とともに運動する観測者から見ると、小球の速度のx成分は、衝突前は
，衝突後は
である。これを静止した観測者から見ると、衝突後の小球の速度のx成分は
である。
の場合は、平板とともに運動する観測者から見ると、小球と平板の衝突は図2のように見える。このときの入射角をiとすると、
である。また、平板とともに運動する観測者から見ると、入射角と反射角が等しいこともわかる。一方、静止した観測者から見た反射角
は、
を満たす。このことから、
のときだけ
となり、
では
，
では
となることがわかる。また、(オ)より、
ならば
となり、小球は衝突後もx方向に進み続ける(
)。このように入射角がθ のとき、
の範囲でVを変えれば、反射角
を
の領域で変化させることができる。
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解答 考えにくい相対運動の問題です。以下では細かく丁寧に検討していますが、空所補充問題でもあり、本番では、正負に注意すれば、もっと感覚的に解答してよいと思います。
(1)(ア) 衝突前、平板、小球のx方向の速度成分はそれぞれV，
です。平板とともに運動する観測者から見ると、小球の速度のx成分は、
......[答] (相対速度を参照) よって、
(イ) 衝突後、平板、小球のx方向の速度成分はそれぞれV，
です。平板とともに運動する観測者から見ると、小球の速度のx成分は、
......[答](ウ) 静止した観測者から見ると、衝突後の小球の速度のx成分は、
......[答] (エ) 平板とともに運動する観測者から見て、図2の小球の速度のx成分は
，y成分は
，よって、
......[答]
......[答]∴ 
......[答]
の範囲でVを変えると、
とするとき、
とするとき、
，
なので、
，
また、
では
なので、
(三角関数を参照)に注意して、
のとき、
よって、
(キ) 0 ......[答]
(ク) 
......[答]
(2)(ケ) 小球が平板からはね返らなかったので、衝突直後の小球の速度のx成分は時刻
での平板の速度Vに一致します。(ウ)の結果で、
とすると、 
，∴ 
よって、
での平板の速度Vは、
......[答] (コ) 
になっても小球は平板から離れず、平板(加速度
で運動する)とともに運動する観測者から見ると、x軸正方向に慣性力
が働きます。また、小球は平板と接触しているので、平板からx軸負方向の垂直抗力N (
)を受けます。平板とともに運動する観測者から見て、力のつり合いより、 
∴ 
時刻
に小球が平板から受ける力のx成分は、
......[答] (サ) 静止した観測者から見て、
の間、小球はx方向に加速度
で等加速度運動をします。時刻tにおける小球の速度のx成分vは、
において
より、 時刻Tにおける小球の速度のx成分
は、 
となるためには、
......[答](シ) 平板とともに運動する観測者から見て、平板と接触を続ける小球が平板からy方向に受ける力は、動摩擦力
(摩擦力を参照)で、
の間、小球はy方向に加速度
で等加速度運動します。 時刻tにおける小球の速度のy成分
は、
において
より、 
となる時刻は、小球はy方向に一旦停止すれば動摩擦が静止摩擦に変わり、そのまま
となります。
において
となるために、
......[答](ス) 「このようなTが存在するための条件」とは、
，
となるようなTが存在するための条件、ということであって、(サ)(シ)の条件をともに満たすTが存在するための条件で、 であれば、条件を満たすTが存在します。よって、
......[答]
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(
)で変化させる。さらにここでは、小球と平板間の反発係数は
，動摩擦係数は
とする。また静止した観測者から見る場合だけを考え、小球は(1)と同様にx-y平面内で運動するものとする。ここでも重力や小球の回転運動は考えなくてよい。時刻
で小球は平板に接触した後、平板から力を受けながら平板とともに進んだ。時刻
での小球の速度を(1)と同様に
と表すと(ただし
)、小球が平板からはね返らなかったので、平板の速度のx成分は時刻
では
であったことがわかる。また小球の質量をmとすると、時刻
に小球が平板から受ける力のx成分は
である。その後、時刻
で平板を取り除いた。時刻
での小球の速度を
と表すと、小球がx方向へ進み続ける(
)ためには、
とすればよい。
の場合には、小球は
に平板に接触した後、平板面上を運動する。この間、小球は平板から摩擦力を受け速度のy成分は減少する。時刻
で
となる条件は、小球と平板面間の動摩擦係数
を使って、
と表される。反射角
を
で与えると、
かつ
ならば反射角は最大値
をとる。このようなTが存在するための条件は、入射角θ を(1)と同様に
で与えると、
である。
，
より、
のとき
なので、
より、
