京大物理'06年前期[3]

(1) 一般に熱の出入りを伴わない状態変化を断熱変化と呼ぶが、気体の断熱変化では、変化の各段階で平衡状態が実現しているならば、

という関係が成り立つ。べき定数γ は気体の種類によって異なるが、必ず1より大きい値をもつ。以下では、空気に対するべき定数を、γ と表す。

空気は断熱性がよいので、大気中の空気のゆっくりとした移動は、断熱変化とみなすことができる。いま、こうした断熱変化をくりかえした結果、大気の圧力や温度は、高度によって決定されているとしよう。また、空気1molあたりの質量をwとし、この値は高度によらず一定とする。このとき、地表の気温を絶対温度で

(以下、温度はすべて絶対温度とする)，気体定数をR，地表における空気の密度を

とすれば、地表における大気の圧力は　あ　で与えられる。また、ある高度における大気の温度をTとするとき、その高度での大気の圧力は　い　，密度は　う　と表される。

(2) さて、大気が上に述べたような状態にあるときに、熱気球を飛ばすことを考えてみよう。気球は断熱性の布でできており、気体の部分を除いた気球の質量はMである。最初、気球は空気は入っていない体積0 (ゼロ)の状態であった。飛ばないように気球を固定し、気球の下部が開いた状態で、外気を熱して温度

にした空気を体積　え　だけ詰めたところ、気球は浮かび始めた。さらに続けて、温度

の空気を気球の体積がVになるまで入れた。このときの気球内の空気の物質量は　お　molである。また、空気の定積モル比熱を

とすると、気球内に入った空気には、もとの大気の状態から　か　の熱が加えられ、内部エネルギーは　き　だけ増加したことになる。

(3) ここで、気球の下部を閉じ、固定をはずして気球を飛ばしたところ、ある高度まで上がって静止した。気球内の空気の温度

と体積Vが変化しないとすると、この高度での大気の温度は　く　である。さらに、気球の下部を開き、体積はVのまま気球内の空気の温度を　け　にしたとき、気球の高度は変わらなかった。このときの気球内の空気の温度は、

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(い)　問題文の「大気中の空気のゆっくりとした移動は、断熱変化とみなすことができる。いま、こうした断熱変化をくりかえした結果、大気の圧力や温度は、高度によって決定されているとしよう。」という表現をどう考えるかですが、重力加速度が与えられていないので、(上空の気体の圧力による力)＋(地表から上にある気体に働く重力)＝(地表の大気圧による力)と考えることはできません。