京大物理'08年前期[3]

京大物理'08年前期[3]

次の文を読んで、　　には適した式または数値を、{　　}には図3から適切なものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。また、問1，問2では指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

電磁波の一種であるγ線の放射と測定について考察しよう。物質を構成する原子は電子と原子核からなり、原子核の内部のエネルギーが高い状態から低い状態に移るときに、原子核からγ線が放射される。以下では、電子の質量は原子核の質量と比較して非常に小さいため、無視できるものとする。
振動数fの電磁波は、ある一定のエネルギーをもった粒子の集まりと考えることができ、その粒子を光子という。光子1個のエネルギーは

，運動量は電磁波の進む向きに

の大きさであることがわかっている。ここで、hはプランク定数とよばれる定数であり、cは光速である。
以下において、原子核の内部のエネルギー状態には、励起状態とよばれるエネルギーの高い状態と基底状態とよばれるエネルギーの最も低い状態の2つがあるものとする。励起状態のエネルギーを

，基底状態のエネルギーを

とし、そのエネルギー差を

とする。

まず、質量Mの原子核1個によるγ線放射を考える。原子核が励起状態から基底状態に移るときに、γ線の光子が1個放射される。静止していた原子核は、図1のようにγ線放射の反作用により速さvで動き出す。速さvの原子核の運動エネルギーと運動量の大きさは、原子核が基底状態にあるか励起状態にあるかに関わりなく、それぞれ

，

としてよい。また、原子核の全エネルギーは内部のエネルギー(

または

)と原子核の運動エネルギーの和で与えられる。よって原子核から振動数

のγ線が放射される場合、エネルギー保存則は

を用いて　あ　，運動量保存則は　い　と書くことができる。ここで、

は

に比べ充分に小さいことがわかっている。絶対値が1より充分に小さい数δ に対して成り立つ近似式

を用いると、

は

，M，c，hを用いて　う　となる。
次に、この原子核をもつ原子N個で構成されている静止した結晶からのγ線光子1個の放射を考える。この結晶の質量は

で与えられる。以下では、結晶は充分低温であるものとし、原子核が結晶中に固定され、γ線を放射する原子核はその反作用を受けても結晶中に固定されたままであるとする。この場合、γ線放射の反作用は結晶全体で受け止められ、結晶が速さ

で動き出すものとする。このときの放射γ線の振動数

は

，M，N，c，hを用いて　え　となる。また、構成する原子数が無限大とみなせる大きい結晶の場合、放射されるγ線の振動数は

となる。

問1　原子N個で構成されている静止した結晶からのγ線光子1個の放射について、エネルギー保存則と運動量保存則を記述せよ。さらにNが無限大とみなせるとき、エネルギー保存則において結晶の運動エネルギーの項がその他の項に比べて無視でき、その結果、放射γ線の振動数が

となることを説明せよ。

同様の考察により、同じ種類の原子で構成されている静止した大きい結晶にγ線を当てると、この結晶は振動数

のγ線のみをよく吸収することがわかっている。このような結晶をここでは吸収体とよぶ。

次に、図2のような実験装置を用いたγ線の測定を考えよう。
γ線源は同じ種類のN個の原子で構成された結晶多数からなり、振動数

のγ線を一定の強度(単位時間当たりに放射されるγ線の光子数)で放射するものとする。吸収体を乗せた台車を水平な床の上におき、図2のように左端を床に固定したばねにつなぐ。γ線源は台車から充分に遠方に置かれ、γ線は吸収体付近で図2のx軸に平行に進むものとする。吸収体の表面はx軸に垂直である。吸収体は、振動数